Vous devrez dorénavant décomposer l’expression en fonction rationnelle
$k\left( x \right)$ est de la forme $k\left( x \right) = \frac{{Q(x)}}{{P(x)}}$
L’expression du dénominateur est factorisable
${P(x) = }$ ${x - {x^2} = }$ ${x(1 - x)}$
Ainsi, nous pouvons mettre $k\left( x \right)$ sous la forme $k\left( x \right) = $ $\frac{1}{{x(1 - x)}}$ $ = \frac{a}{x} + \frac{b}{{1 - x}}$ $ = \frac{{a - ax + bx}}{{x(1 - x)}}$ $ = \frac{{a - x(b - a)}}{{x(1 - x)}}$
Par identification nous avons : $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.$
Soit $k\left( x \right) = $ $\frac{1}{x} + \frac{1}{{1 - x}}$
$\int {k\left( x \right)} dx = $ $\int {\frac{1}{x}} dx + $ $\int {\frac{1}{{1 - x}}} dx$$ - \int {\frac{1}{{x - 1}}} dx$
$\int {k\left( x \right)} dx = $ $ln\left| x \right| - $ $\ln \left| {x - 1} \right| + cte$
merci
