I Équation du premier degré dans \( \mathbb{C}\)

I.1 Définition

On appelle équation du premier degré dans \( \mathbb{C}\); toute équation de la forme \(aZ + b = 0\).
Avec (\(a \in \) \( \mathbb{C^*}\))

I.2 Résolution des équations du premier degré dans \( \mathbb{C}\)
L'ensemble solution de l'équation \(aZ + b = 0\) est :
\(S = \left\{ { - \frac{b}{a}} \right\}\)

II Racines carrées d'un nombre complexe

II.1 Définition :

On appelle racines carrées de \(Z\), tout nombre complexe \(z\) tel que \(Z = {z^2}\).

II.2 Résolution du cas général :

Si \(Z = a + ib\) et \(z = x + iy\), On dit que \(z\) est une racine carrée de \(Z\) si et seulement si
\(\left\{ \begin{array}{l}Z = {z^2}\\\left| Z \right| = \left| {{z^2}} \right|\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x + iy} \right)^2} = a + ib\\{x^2} + {y^2} = \left| Z \right|
\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\\{x^2} + {y^2} = \left| Z \right|
\end{array} \right.\)
• Partie réelle de \({z^2}\) égale à la partie réelle \(Z\)
• Partie imaginaire de \({z^2}\) égale à la partie imaginaire \(Z\)
• Module de \({z^2}\) égale au module de \(Z\)
Ainsi :

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{1}{2}\left( {\left| Z \right| + a} \right)\\{y^2} = \frac{1}{2}\left( {\left| Z \right| - a} \right)\end{array} \right.\)

\(2xy = b\) indique si \(x\) et \(y\) sont de mêmes signes ou de signes contraires suivant le signe de \(b\)
• Si \(xy \succ 0\), \(x\) et \(y\) sont de mêmes signes
• Si \(xy \prec 0\), \(x\) et \(y\) sont de signes contraires

Autre méthode pratique

Soit \(Z = a + ib\), l’écriture algébrique d’un nombre complexe.
Si \(\frac{b}{2}\) est un entier relatif tel que \(\frac{b}{2} = xy\) avec \({x^2} - {y^2} = a\)
Alors les racines carrées de \(Z\) sont :
\(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = x + iy\\{z_2} = - x - iy\end{array} \right.\)

Exemple : Déterminer les racines carrées de \(Z = 5 - 12i\)
\(\frac{b}{2} = \) \( - 6 = - 2 \times 3\)
\({\left( 3 \right)^2} - {\left( { - 2} \right)^2}\) \( = 5 = a\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = - 3 + 2i\\{z_2} = 3 - 2i\end{array} \right.\)

III Équation du second degré dans \( \mathbb{C}\)

III.1 Définition

On appelle équation du second degré dans \( \mathbb{C}\), toute équation de la forme : \(a{Z^2} + bZ\) \( + c = 0\) avec \(a \ne 0\)
La résolution de telles équations nécessite d'abord le calcul du discriminant associé \(∆\) qui est tel que tel que : \(\Delta = {b^2} - 4ac\)
• Si \(\Delta \succ 0\), on a : \({Z_1} = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\) et \({Z_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\) ;
• Si \(\Delta = 0\), \({Z_1} = {Z_2}\) \( = \frac{{ - b}}{{2a}}\)
Si \(\Delta \prec 0\), \({Z_1} = \) \(\frac{{ - b - i\sqrt \Delta }}{{2a}}\) et \({Z_2} = \) \(\frac{{ - b + i\sqrt \Delta }}{{2a}}\) ;
• Si \(\Delta = a' + ib'\) ( forme algebrique ), on a \({Z_1} = \frac{{ - b + {\delta _1}}}{{2a}}\) et \({Z_2} = \frac{{ - b + {\delta _2}}}{{2a}}\) avec \({{\delta _1}}\) et \({{\delta _2}}\) les racines carrées de \(\Delta \).

IV Équations se ramenant au second degré :

IV.1 Définition :

Ceux sont des équations dont le degré est supérieur à 2
Exemples : \(a{Z^3} + b{Z^2}\) \( + cZ + d = 0\)
\(a{Z^4} + b{Z^3}\) \( + c{Z^2} + dZ\) \( + e = 0\)

IV.2 Résolution

La résolution de telles équations nécessite obligatoirement la reconnaissance d'une racine évidente : réelle(\({Z_0} = a\)) ou imaginaire ( \({Z_0} = ib\)) ou encore \({Z_0} = a + ib\) ( avec \(a \ne 0\) et \(b \ne 0\) ) afin de factorisée puis de résoudre l’équation en utilisant l’une des techniques de factorisation qui suivent :
• Division Euclidienne ;
• Tableau d’Hörner ;
• L’identification des coefficients.

NB : Pour les équations bicarrées : ( \(a{Z^4} + b{Z^2}\) \( + c = 0\)), il suffit de ramener l'équation bicarrée au second degré en posant : \({Z^2} = z\) \( \Rightarrow a{z^2} + bz\) \( + c = 0\), Avec \(a \ne 0\).

V Racines nièmes d'un nombre complexe

V.1 Définition

On appelle racine nième de \(Z\) tout nombre complexe \(z\) tel que : \({z^n} = Z\). avec \(n \in \) \( \mathbb{N}\)

V.2 Résolution

Soit \(Z = a + ib\) un complexe de forme polaire : \(\left[ {r,\theta } \right]\) et
\(z = a' + ib'\) un complexe de forme polaire \(\left[ {r',\theta '} \right]\)
\({z^n} = Z \Leftrightarrow \) \({\left[ {r',\theta '} \right]^n} = \) \(\left[ {{{\left( {r'} \right)}^n},n\theta '} \right]\) \( = \left[ {r,\theta } \right]\)
Par identification
\(\left\{ \begin{array}{l}r' = \sqrt[n]{r}\\\theta ' = \frac{\theta }{n}\left[ {\frac{{2k\pi }}{n}} \right] \end{array} \right.\) avec \(k \in \left[ {0;n - 1} \right]\)
\({z_k} = \) \(\left[ {\sqrt[n]{{\left| Z \right|}};\frac{{\theta + 2k\pi }}{n}} \right]\)

Sous sa forme exponentielle, la racine cubique est donnée par : \({z_k} = \sqrt[n]{{\left| Z \right|}}\) \({e^{i\left( {\frac{\theta }{n} + 2k\frac{\pi }{n}} \right)}}\)