Correction exercice I

Résolvons dans \( \mathbb{C}\) l'équation : \(\left( {1 + 2i} \right)Z\) \( - \left( {i - 1} \right) = \) \(iZ - 3\).
\(\left( {1 + 2i} \right)Z - \) \(iZ = \left( {i - 1} \right)\) \( - 3 \Rightarrow \) \(\left( {1 + i} \right)Z = \) \( - 4 + i\)
\(Z = \frac{{ - 4 + i}}{{1 + i}}\) \( = \frac{{ - 3 + 5i}}{{{1^2} + {1^2}}}\) \( = \frac{{ - 3 + 5i}}{2}\)

Correction exercice II

Trouvons les racines carrées de :
a) \({Z_1} = 5 - 12i\) ;
\({z^2} = {\left( {x - iy} \right)^2}\) \( = 5 - 12i\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 5\\2xy = - 12\\{x^2} + {y^2} = 13\\\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2{x^2} = 19\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 3\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\y = - 2\end{array} \right.\)

Ainsi : \({z_1} = - 3 + 2i\) et \({z_2} = 3 - 2i\)

b) \({Z_2} = 15 + 28i\) ;
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 45\\2xy = 28\\{x^2} + {y^2} = 58\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2{x^2} = \) \(98 \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 7\\x = 7 \end{array} \right. \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} y = - 2\\y = 2 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = - 7 - 2i\\{z_2} = 7 + 2i \end{array} \right.\)

c) \({Z_3} = 3 - 4i\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 3\\2xy = - 4\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2{x^2} = \) \(8 \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = 1\\ y = - 1 \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} = - 2 + i\\{z_2} = 2 - i\end{array} \right.\)

Correction exercice III

Résolvons dans \( \mathbb{C}\) les équations suivantes
a) \(2{Z^2} + Z\) \( + 1 = 0\) ;
\(\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - \) \(4\left( 1 \right)\left( 2 \right) = \) \( - 4 = {\left( {2i} \right)^2}\)
\({Z_1} = \frac{{2 - 2i}}{2}\) \( = 1 - i\)
\({Z_2} = \) \(\frac{{2 + 2i}}{2}\) \( = 1 + i\)

b) \({Z^2} - 4Z\) \( + 4 = 0\) ;
\(\Delta = {\left( 1 \right)^2} - 4\left( 1 \right)\) \(\left( { - 2} \right) = 9 = {\left( 3 \right)^2}\)
\({Z_1} = \) \(\frac{{ - 1 - 3}}{2}\) \( = - 2\)
\({Z_2} = \) \(\frac{{ - 1 + 3}}{2}\) \( = 1\)
\(S = \left\{ { - 2,1} \right\}\)

c) \(4{Z^2} - 4\) \(\left( {1 + i} \right)Z - \) \(\left( {45 + 26i} \right) = 0\)
\(\Delta = 720 + 448i\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 720\\{x^2} + {y^2} = 848\\2xy = 448\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2{x^2} = \) \(1568 \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 28\\x = 28\end{array} \right.\) et \(\left\{ \begin{array}{l}y = - 8\\y = 8\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{\delta _1} = - 28 - 8i\\{\delta _2} = 28 + 8i\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{Z_1} = - 3 - \frac{1}{2}i\\{Z_2} = 4 + \frac{3}{2}i\end{array} \right.\)

Correction exercice IV

a) Résoudre dans \( \mathbb{C}\) l'équation \({Z^3} - 4i{Z^2}\) \( - \left( {6 + i} \right)Z\) \( + 3i - 1 = 0\), sachant qu’elle admet une racine imaginaire pure.
Soit \({Z_0} = ib\) cette solution réelle telle que :
\({\left( {ib} \right)^3} - \) \(\left( {3 + 5i} \right){\left( {ib} \right)^2} - \) \(\left( { - 4 + 9i} \right)\left( {ib} \right)\) \( + 6 - 4i = 0\)
\(\left( {b - 1} \right) + \) \(i( - {b^3} + 4{b^2}\) \( - 6b + 3) = 0\)
Soit \(\left( {b - 1} \right) = 0\) (1) et \(( - {b^3} + 4{b^2}\) \( - 6b + 3) = 0\) (2)
On résous toujours l’équation qui semble la plus facile.
Ainsi résolvons l’équation (1) qui est la plus facile à résoudre :
\(\left( {b - 1} \right) = 0\) \( \Rightarrow b = 1\), \(b = 1\) dans (2) annule cette équation, donc \({Z_0} = i\) est la solution cherchée

Nous vous recommandons cette vidéo sur la méthode dite de Horner, elle permet de factoriser plus facilement les polynômes

Ainsi, les coefficients du polynômes sont : 1, \( - 3i\), \( - 3 - i\), et le reste 0
\({Z^3} - 4i{Z^2}\) \( - \left( {6 + i} \right)Z\) \( + 3i - 1 = \) \(\left( {Z - i} \right)({Z^2}\) \( - 3iZ - 3 - i)\) \( = 0\)
\(\left\{ \begin{array}{l}Z - i = 0\\{Z^2} - 3iZ - 3 - i = 0\end{array} \right.\)
Pour le polynôme de second degré \(\Delta = 3 + 4i\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 3\\2xy = 4\\{x^2} + {y^2} = 5\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}{\delta _1} = - 2 - i\\{\delta _2} = 2 + i\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{Z_1} = i\\{Z_2} = 1 + 2i\\{Z_3} = - 1 + i\end{array} \right.\)

\(S = \{ - 1 + i;i\) \(;1 + 2i\} \)

b) Résolvons dans \( \mathbb{C}\) l'équation \({Z^3} - \left( {3 + 5i} \right){Z^2}\) \( - \left( { - 4 + 9i} \right)Z\) \( + 6 - 4i = 0\), sachant qu'elle admet une solution réelle.
Soit \({Z_0} = a\) cette solution réelle telle que :
\({a^3} - \left( {3 + 5i} \right){a^2}\) \( - \left( { - 4 + 9i} \right)a\) \( + 6 - 4i = 0\)
Ainsi
• \({a^3} - 3{a^2}\) \( - 4a + 6 = 0\) (1)
• \( - 5{a^2} + 9a\) \( - 4 = 0\) (2)
NB : On résous toujours l’équation qui semble la plus facile. Ainsi résolvons l’équation ( 2 ) :
\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1} = 1\\{a_2} = \frac{4}{5}\end{array} \right.\)
Et par vérification dans ( 1 ) , on remarque que : \({a_1} = 1\) est la seule solution qui vérifie l’équation ( 1 )
D’où \({Z_0} = a = 1\) est la solution réelle
En utilisant la méthode d’Horner, factorisons l’équation \({Z^3} - \left( {3 + 5i} \right){Z^2}\) \( - \left( { - 4 + 9i} \right)Z\) \( + 6 - 4i = 0\),:

\({Z^3} - \left( {3 + 5i} \right){Z^2}\) \( - \left( { - 4 + 9i} \right)Z\) \( + 6 - 4i = \) \(\left( {Z - 1} \right)({Z^2} + \) \(\left( { - 2 - 5i} \right)Z\) \( - 6 + 4i) = 0\)
En résolvant l’équation du second degré, nous obtenons :

\(\left\{ \begin{array}{l}{Z_1} = 1\\{Z_2} = 2i\\{Z_3} = 2 + 3i\end{array} \right.\)

Exercice V

Déterminons :
a) Les racines carrées de \( - i\)
\(Z = - i \Rightarrow \) \(\left| Z \right| = 1\)
\(\arg (Z)\) est tel que \(\left\{ \begin{array}{l} \cos \theta = 0\\\sin \theta = - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \theta = \arg (Z)\) \( = - \frac{\pi }{2}\)
Ainsi les racines carrées de \(Z\) sont données par :
\({Z_k} = \sqrt[2]{1}\) \((\cos \left( {\frac{{ - \frac{\pi }{2} + 2k\pi }}{2}} \right)\) \( + i\sin \left( {\frac{{ - \frac{\pi }{2} + 2k\pi }}{2}} \right))\) \( = \cos \left( {\frac{{ - \pi + 4k\pi }}{4}} \right)\) \( + i\sin \left( {\frac{{ - \pi + 4k\pi }}{4}} \right)\)
\({Z_k} = \) \(\cos \left( {\frac{{ - \pi + 4k\pi }}{4}} \right)\) \( + i\sin \left( {\frac{{ - \pi + 4k\pi }}{4}} \right)\)
Avec \(k \in \left[ {0,1} \right]\)
\(k = 0\), \({Z_0} = \) \(\cos \left( {\frac{{ - \pi }}{4}} \right)\) \( + i\sin \left( {\frac{{ - \pi }}{4}} \right)\)
\(k = 1\), \({Z_1} = \) \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)\) \( + i\sin \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)\) \( = - \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) \( + i\sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

b) Les racines cubiques de \(4\sqrt 3 - 4i\)
\(Z = 4\sqrt 3 \) \( - 4i \Rightarrow \) \(\left| Z \right| = 8\)
\({Z_k} = \sqrt[3]{8}[\cos \) \(\left( {\frac{{ - \frac{\pi }{6} + 2k\pi }}{3}} \right)\) \( + i\sin \) \(\left( {\frac{{ - \frac{\pi }{6} + 2k\pi }}{3}} \right)]\)
\(k \in \left[ {0;2} \right]\)
\({Z_k} = 2\) \(\cos \left( {\frac{{ - \pi + 12k\pi }}{{18}}} \right)\) \( + i2\sin \) \(\left( {\frac{{ - \pi + 12k\pi }}{{18}}} \right)\)

• \({Z_0} = 2\) \([\cos \left( {\frac{{ - \pi }}{{18}}} \right) + i\) \(\sin \left( {\frac{{ - \pi }}{{18}}} \right)]\)
• \({Z_1} = 2[\) \(\cos \left( {\frac{{11\pi }}{{18}}} \right) + i\) \(\sin \left( {\frac{{11\pi }}{{18}}} \right)]\)
• \({Z_2} = 2[\) \(\cos \left( {\frac{{23\pi }}{{18}}} \right) + i\) \(\sin \left( {\frac{{23\pi }}{{18}}} \right)]\)

c) Les racines quatrièmes de 1
Posons \(Z = 1\), Cela revient à déterminer les racines quatrième de l’unité c'est-à-dire 1. Or elles sont données par la formule :
\({Z_K} = \left[ {1;\frac{{2k\pi }}{n}} \right]\)
Pour n=4, \({Z_K} = \) \(\left[ {1;\frac{{2k\pi }}{4}} \right] = \) \(\left[ {1;\frac{{k\pi }}{4}} \right]\)
• \({Z_0} = \left[ {1;0} \right]\)
• \({Z_1} = \left[ {1;\frac{\pi }{4}} \right]\)
• \({Z_2} = \left[ {1;\frac{\pi }{2}} \right]\)
• \({Z_3} = \left[ {1;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\)

d) Les racines cinquièmes de \(i\)
\(Z = i \Rightarrow \) \(\left| Z \right| = 1\)
\({Z_k} = \left[ {1;\frac{{\frac{\pi }{2} + 2k\pi }}{5}} \right]\)
• \({Z_0} = \left[ {1;\frac{\pi }{{10}}} \right]\)
• \({Z_1} = \left[ {1;\frac{{5\pi }}{{10}}} \right]\)
• \({Z_2} = \left[ {1;\frac{{9\pi }}{{10}}} \right]\)
• \({Z_3} = \left[ {1;\frac{{13\pi }}{{10}}} \right]\)
• \({Z_4} = \left[ {1;\frac{{17\pi }}{{10}}} \right]\)