Exercice I

1. La division euclidienne de 900 par un entier naturel b a pour quotient 14 et pour reste r. Quelles sont les valeurs possibles de b et r ?
2. Déterminer l’entier naturel n dont la division euclidienne par 16 a un reste égal au carré du quotient

Exercice II

Soit \(q\) et \(r\) le quotient et le reste de la division euclidienne d’un entier naturel \(a\) par un entier naturel \(b\).
Sachant que \(a+b+r\) \(=3025\) et \(q = 50\) ; rétablir la division.

Exercice III

1. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs \(n\) tels que \(\left( {5{n^2} - n} \right)\) divise \(\left( {n + 2} \right)\)
2. Démontrer que \(a\left( {{a^2} - 1} \right)\) avec (\(a \in Z\)) est multiple de 2 et de 3.

Exercice IV

1. Pour tout couple \(\left( {a,b} \right)\) de \( \mathbb{N}\) \( \times \) \( \mathbb{N^*}\), montrer qu’il existe un et un seul couple \(\left( {q,r} \right)\) de \( \mathbb{N^2}\) tel que \(a = bq + r\) et \(0 \le r \prec b\).
2. Pour tout couple \(\left( {a,b} \right)\) de \( \mathbb{Z}\) \( \times \) \( \mathbb{Z^*}\), montrer qu’il existe un et un seul couple \(\left( {q,r} \right)\) de \( \mathbb{Z^2}\) tel que \(a = bq + r\) et \(0 \le r \prec \left| b \right|\)