Exercice I

1. La division euclidienne de 900 par un entier naturel b a pour quotient 14 et pour reste r. Quelles sont les valeurs possibles de b et r ?
2. Déterminer l’entier naturel n dont la division euclidienne par 16 a un reste égal au carré du quotient

Exercice II

Soit $q$ et $r$ le quotient et le reste de la division euclidienne d’un entier naturel $a$ par un entier naturel $b$.
Sachant que $a+b+r$ $=3025$ et $q = 50$ ; rétablir la division.

Exercice III

1. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs $n$ tels que $\left( {5{n^2} - n} \right)$ divise $\left( {n + 2} \right)$
2. Démontrer que $a\left( {{a^2} - 1} \right)$ avec ($a \in Z$) est multiple de 2 et de 3.

Exercice IV

1. Pour tout couple $\left( {a,b} \right)$ de $\mathbb{N}$ $\times$ $\mathbb{N^*}$, montrer qu’il existe un et un seul couple $\left( {q,r} \right)$ de $\mathbb{N^2}$ tel que $a = bq + r$ et $0 \le r \prec b$.
2. Pour tout couple $\left( {a,b} \right)$ de $\mathbb{Z}$ $\times$ $\mathbb{Z^*}$, montrer qu’il existe un et un seul couple $\left( {q,r} \right)$ de $\mathbb{Z^2}$ tel que $a = bq + r$ et $0 \le r \prec \left| b \right|$