Correction exercice I

1. Calcule des valeurs de \(b\) et \( r\)
\(900 = 14b + r\) \( \Rightarrow r = 900 - \) \(14b\)
Soit \(\left\{ \begin{array}{l}r = 900 - 14b\\0 \le r \prec b\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 0 \le 900 - \) \(4b \prec b \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} 0 \le 900 - 14b\\ 900 - 14b \succ b \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}b \le 64,28\\b \succ 60
\end{array} \right.\)
\(b \in \left] {60;60,28} \right]\) d’où \(b = \) \(\left\{ {61;62;63;64} \right\}\)
• Pour \( b = 61\); alors \(r = 900 - 14\) \( \times 61 = 46\) : \(\left( {b,r} \right) = \) \(\left( {61,46} \right)\) ;
• Pour \( b = 62\); alors \(r = 900 - 14\) \( \times 62 = 32\) : \(\left( {b,r} \right) = \) \(\left( {62,32} \right)\) ;
• Pour \( b = 63\); alors \(r = 900 - 14\) \( \times 63 = 18\) : \(\left( {b,r} \right) = \) \(\left( {63,18} \right)\) ;
• Pour \( b = 64\); alors \(r = 900 - 14\) \( \times 64 = 4\) : \(\left( {b,r} \right) = \) \(\left( {64,4} \right)\).
2. Calculons l’entier \(n\)
\(\left\{ \begin{array}{l}n = 16q + r\\0 \le r \prec 16\end{array} \right.\) avec \(r = {q^2} \Rightarrow \) \(0 \le {q^2} \prec 16\) \( \Leftrightarrow 0 \le q\) \( \prec 4\)
\(q = \) \(\left\{ {0;1;2;3} \right\}\)
• Pour \(q = 0\) ; alors \(r = 0 \Rightarrow \) \(n = 0\) ;
• Pour \(q = 1\) ; alors \(r = 1 \Rightarrow \) \(n = 17\) ;
• Pour \(q = 2\) ; alors \(r = 4 \Rightarrow \) \(n = 36\) ;
• Pour \(q = 3\) ; alors \(r = 9 \Rightarrow \) \(n = 57\) .
Soit \(n = \) \(\left\{ {0;17;3657} \right\}\)

Correction exercice II

Sachant que \(a+b+r\) \(=3025\) et \(q = 50\) ; rétablissons la division.
\(\left\{ \begin{array}{l}a = 50b + r\\0 \le r \prec b\\a + b + r = 3025\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} a = 50b + r\\0 \le r \prec b\\a = 3025 - b - r\end{array} \right.\)
\(a = a\) \( \Leftrightarrow 50b + r = \) \(3025 - b - r\) \( \Rightarrow \) \(2r = 3025\) \( - 51b\)
\(0 \le r \prec b\) \( \Rightarrow \) \(0 \le 2r \prec 2b\)
\(0 \le 3025 - \) \(51b \prec 2b\) \( \Rightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} b \le 59,31\\
b \succ 57,07 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow b = \) \(\left\{ {58;59} \right\}\)
• Pour \(b = 58\), on a \(2r = 3025\) \( - 51 \times 58 = \) \(67\) à rejeter
• Pour \(b = 59\), on a \(2r = 3025\) \( - 51 \times 59 = \) \(16\)
\(r = 8 \Rightarrow a\) \( = 50 \times 59 + 8\) \( = 2958\)

\(\left\{ \begin{array}{l}a = 2958\\b = 59\\q = 50\\r = 8\end{array} \right.\)

Correction exercice III

1. Déterminons l’ensemble des entiers relatifs \(n\) tels que \(\left( {5{n^3} - n} \right)\) divise \(\left( {n + 2} \right)\)
\(\frac{{5{n^3} - n}}{{n + 2}}\) \( = 5{n^2} - 10n\) \( + 19 + \) \(\frac{{ - 38}}{{n + 2}}\)
Ainsi pour que \(\frac{{5{n^3} - n}}{{n + 2}}\) soit un entier relatif, il faut que \({\left( {n + 2} \right)}\) soit égale à l’ensemble des diviseurs de 38.
Or l’ensemble des diviseurs de 38 sont : \(\{ - 38; - 19;\) \( - 2; - 1;1;\) \(2;19;38\} \)
\(n + 2 \in \{ - 38;\) \( - 19; - 2; - 1;\) \(1;2;19;38\} \)
Ainsi \(n \in \{ - 40; - 21;\) \( - 4; - 3; - 1;0;\) \(17;36\} \)
2. Démontrons que \(a\left( {{a^2} - 1} \right)\) avec (\(a \in Z\)) est multiple de 2 et de 3.
\(a\left( {{a^2} - {1^2}} \right)\) \( = \left( {a + 1} \right)a\) \(\left( {a - 1} \right)\)
\(\left( {a + 1} \right)a\) sont deux entiers consecutifs, ce qui signifie que l’un des deux est pair. Donc le produit \(\left( {a + 1} \right)a\) \(\left( {a - 1} \right)\) est alors divisible par 2. De même \(\left( {a + 1} \right)a\) \(\left( {a - 1} \right)\) sont trois entiers consécutifs. L’un d’entre eux est donc divisible par 3, ainsi le total est divisible par 3

Correction exercice IV

1. Existence : L’ensemble \(E = \{ k \in \) \( \mathbb{N}\) \(/bk \le a\} \) est une partie de \( \mathbb{N}\), non vide puisqu’elle contient 0, et majorée puisque pour tout \(k \in E\) on \(k \le bk \le a\). Il possède donc un plus grand élément \(q\) (d’après les axiomes de \( \mathbb{N}\)). On a évidemment : \(bq \le a\) \( \prec b\left( {q + 1} \right)\) donc \(0 \le a - bq \prec b\). Il suffit de poser \(r = a - bq\) pour que les deux nombres entiers \(q\) et \(r\) vérifient \(a = bq + r\) et \(a \le r \prec b\).
Unicité : Si \(a = bq + r\) \( = bq' + r'\) avec \(0 \le r \prec b\) et \(0 \le r' \prec b\), alors
\(b\left( {q - q'} \right)\) \( = r' - r\) et \(b\) divise \(r' - r\). Comme \(\left| {r' - r} \right| \prec b\), cela entraîne \(r = r'\) et \(q = q'\).
2. Existence : Il existe nécessairement un entier naturel \( k\) tel que \(a + \left| b \right|k \ge 0\) , autrement la suite \({\left( {a + \left| b \right|k} \right)_{k \in N}}\) serait strictement croissante, majorée et incluse dans \( \mathbb{Z^-}\), ce qui est impossible. L’existence d’une division euclidienne dans \( \mathbb{N}\) permet d’affirmer l’existence d’un couple \(\left( {q'r'} \right)\) de \( \mathbb{N^2}\) tel que :
\(a + \left| b \right|k = \) \(\left| b \right|q' + r'\) et \(0 \le r' \prec \left| b \right|\)
Par suite :
\(a = b\) \(\left( {\frac{{\left| b \right|}}{b}q' - \frac{{\left| b \right|}}{b}k} \right)\) \( + r' = \) où \(b\varepsilon \left( {q' - k} \right)\) \( + r'\) \(\varepsilon = \frac{{\left| b \right|}}{b}\) \( = Sgn\left( b \right)\) désigne le signe de \(b\) (et vaut \( \pm 1\)). Il suffit de poser \(q = \varepsilon \left( {q' - k} \right)\) et \(r = r'\) pour obtenir \(a = bq + r\) avec \(0 \le r' \prec \left| b \right|\).
Unicité : Si \(a = bq + r\) \( = bq' + r'\) avec \(0 \le r \prec \left| b \right|\) et \(0 \le r' \prec \left| b \right|\), alors \(b\left( {q - q'} \right)\) \( = r' - r\) et \(b\) divise \( = r' - r\). Comme \(\left| {r' - r} \right| \prec \) \(\left| b \right|\), cela entraîne \(r = r'\) et \(q = q'\).