Correction exercice I
1. Calcule des valeurs de bb et rr
900=14b+r900=14b+r ⇒r=900−⇒r=900− 14b14b
Soit {r=900−14b0≤r≺b ⇒0≤900− 4b≺b⇒ {0≤900−14b900−14b≻b ⇒ {b≤64,28b≻60
b∈]60;60,28] d’où b= {61;62;63;64}
• Pour b=61; alors r=900−14 ×61=46 : (b,r)= (61,46) ;
• Pour b=62; alors r=900−14 ×62=32 : (b,r)= (62,32) ;
• Pour b=63; alors r=900−14 ×63=18 : (b,r)= (63,18) ;
• Pour b=64; alors r=900−14 ×64=4 : (b,r)= (64,4).
2. Calculons l’entier n
{n=16q+r0≤r≺16 avec r=q2⇒ 0≤q2≺16 ⇔0≤q ≺4
q= {0;1;2;3}
• Pour q=0 ; alors r=0⇒ n=0 ;
• Pour q=1 ; alors r=1⇒ n=17 ;
• Pour q=2 ; alors r=4⇒ n=36 ;
• Pour q=3 ; alors r=9⇒ n=57 .
Soit n= {0;17;3657}
Correction exercice II
Sachant que a+b+r =3025 et q=50 ; rétablissons la division.
{a=50b+r0≤r≺ba+b+r=3025 ⇒ {a=50b+r0≤r≺ba=3025−b−r
a=a ⇔50b+r= 3025−b−r ⇒ 2r=3025 −51b
0≤r≺b ⇒ 0≤2r≺2b
0≤3025− 51b≺2b ⇒ {b≤59,31b≻57,07 ⇒b= {58;59}
• Pour b=58, on a 2r=3025 −51×58= 67 à rejeter
• Pour b=59, on a 2r=3025 −51×59= 16
r=8⇒a =50×59+8 =2958
{a=2958b=59q=50r=8
Correction exercice III
1. Déterminons l’ensemble des entiers relatifs n tels que (5n3−n) divise (n+2)
5n3−nn+2 =5n2−10n +19+ −38n+2
Ainsi pour que 5n3−nn+2 soit un entier relatif, il faut que (n+2) soit égale à l’ensemble des diviseurs de 38.
Or l’ensemble des diviseurs de 38 sont : {−38;−19; −2;−1;1; 2;19;38}
n+2∈{−38; −19;−2;−1; 1;2;19;38}
Ainsi n∈{−40;−21; −4;−3;−1;0; 17;36}
2. Démontrons que a(a2−1) avec (a∈Z) est multiple de 2 et de 3.
a(a2−12) =(a+1)a (a−1)
(a+1)a sont deux entiers consecutifs, ce qui signifie que l’un des deux est pair. Donc le produit (a+1)a (a−1) est alors divisible par 2. De même (a+1)a (a−1) sont trois entiers consécutifs. L’un d’entre eux est donc divisible par 3, ainsi le total est divisible par 3
Correction exercice IV
1. Existence : L’ensemble E={k∈ N /bk≤a} est une partie de N, non vide puisqu’elle contient 0, et majorée puisque pour tout k∈E on k≤bk≤a. Il possède donc un plus grand élément q (d’après les axiomes de N). On a évidemment : bq≤a ≺b(q+1) donc 0≤a−bq≺b. Il suffit de poser r=a−bq pour que les deux nombres entiers q et r vérifient a=bq+r et a≤r≺b.
Unicité : Si a=bq+r =bq′+r′ avec 0≤r≺b et 0≤r′≺b, alors
b(q−q′) =r′−r et b divise r′−r. Comme |r′−r|≺b, cela entraîne r=r′ et q=q′.
2. Existence : Il existe nécessairement un entier naturel k tel que a+|b|k≥0 , autrement la suite (a+|b|k)k∈N serait strictement croissante, majorée et incluse dans Z−, ce qui est impossible. L’existence d’une division euclidienne dans N permet d’affirmer l’existence d’un couple (q′r′) de N2 tel que :
a+|b|k= |b|q′+r′ et 0≤r′≺|b|
Par suite :
a=b (|b|bq′−|b|bk) +r′= où bε(q′−k) +r′ ε=|b|b =Sgn(b) désigne le signe de b (et vaut ±1). Il suffit de poser q=ε(q′−k) et r=r′ pour obtenir a=bq+r avec 0≤r′≺|b|.
Unicité : Si a=bq+r =bq′+r′ avec 0≤r≺|b| et 0≤r′≺|b|, alors b(q−q′) =r′−r et b divise =r′−r. Comme |r′−r|≺ |b|, cela entraîne r=r′ et q=q′.