Vous êtes ici : AccueilCLASSESCorrection exercices sur l’arithmétique : Division euclidienne dans N et Z
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C
Mathématiques
Correction exercice
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Correction exercice I

1. Calcule des valeurs de bb et rr
900=14b+r900=14b+r r=900r=900 14b14b
Soit {r=90014b0rb 0900 4bb {090014b90014bb {b64,28b60
b]60;60,28] d’où b= {61;62;63;64}
• Pour b=61; alors r=90014 ×61=46 : (b,r)= (61,46) ;
• Pour b=62; alors r=90014 ×62=32 : (b,r)= (62,32) ;
• Pour b=63; alors r=90014 ×63=18 : (b,r)= (63,18) ;
• Pour b=64; alors r=90014 ×64=4 : (b,r)= (64,4).
2. Calculons l’entier n
{n=16q+r0r16 avec r=q2 0q216 0q 4
q= {0;1;2;3}
• Pour q=0 ; alors r=0 n=0 ;
• Pour q=1 ; alors r=1 n=17 ;
• Pour q=2 ; alors r=4 n=36 ;
• Pour q=3 ; alors r=9 n=57 .
Soit n= {0;17;3657}

Correction exercice II

Sachant que a+b+r =3025 et q=50 ; rétablissons la division.
{a=50b+r0rba+b+r=3025 {a=50b+r0rba=3025br
a=a 50b+r= 3025br 2r=3025 51b
0rb 02r2b
03025 51b2b {b59,31b57,07 b= {58;59}
• Pour b=58, on a 2r=3025 51×58= 67 à rejeter
• Pour b=59, on a 2r=3025 51×59= 16
r=8a =50×59+8 =2958

{a=2958b=59q=50r=8

Correction exercice III

1. Déterminons l’ensemble des entiers relatifs n tels que (5n3n) divise (n+2)
5n3nn+2 =5n210n +19+ 38n+2
Ainsi pour que 5n3nn+2 soit un entier relatif, il faut que (n+2) soit égale à l’ensemble des diviseurs de 38.
Or l’ensemble des diviseurs de 38 sont : {38;19; 2;1;1; 2;19;38}
n+2{38; 19;2;1; 1;2;19;38}
Ainsi n{40;21; 4;3;1;0; 17;36}
2. Démontrons que a(a21) avec (aZ) est multiple de 2 et de 3.
a(a212) =(a+1)a (a1)
(a+1)a sont deux entiers consecutifs, ce qui signifie que l’un des deux est pair. Donc le produit (a+1)a (a1) est alors divisible par 2. De même (a+1)a (a1) sont trois entiers consécutifs. L’un d’entre eux est donc divisible par 3, ainsi le total est divisible par 3

Correction exercice IV

1. Existence : L’ensemble E={k N /bka} est une partie de N, non vide puisqu’elle contient 0, et majorée puisque pour tout kE on kbka. Il possède donc un plus grand élément q (d’après les axiomes de N). On a évidemment : bqa b(q+1) donc 0abqb. Il suffit de poser r=abq pour que les deux nombres entiers q et r vérifient a=bq+r et arb.
Unicité : Si a=bq+r =bq+r avec 0rb et 0rb, alors
b(qq) =rr et b divise rr. Comme |rr|b, cela entraîne r=r et q=q.
2. Existence : Il existe nécessairement un entier naturel k tel que a+|b|k0 , autrement la suite (a+|b|k)kN serait strictement croissante, majorée et incluse dans Z, ce qui est impossible. L’existence d’une division euclidienne dans N permet d’affirmer l’existence d’un couple (qr) de N2 tel que :
a+|b|k= |b|q+r et 0r|b|
Par suite :
a=b (|b|bq|b|bk) +r=bε(qk) +r ε=|b|b =Sgn(b) désigne le signe de b (et vaut ±1). Il suffit de poser q=ε(qk) et r=r pour obtenir a=bq+r avec 0r|b|.
Unicité : Si a=bq+r =bq+r avec 0r|b| et 0r|b|, alors b(qq) =rr et b divise =rr. Comme |rr| |b|, cela entraîne r=r et q=q.