Exercice I
1. La position du mobile est donnée par l’angle balayé par son rayon vecteur: \(\theta (10) = 5\pi \times 10 = 50\pi \) rad
1.b Vitesse angulaire du mobile est : \(\dot \theta = \omega = \frac{{d\theta (t)}}{{dt}} = 5\pi \) rad/s
- Fréquence du mobile: \(f = \frac{\omega }{{2\pi }} = \frac{{5\pi }}{{2\pi }} = \frac{5}{2}\) Hz
- Période du mobile: \(T = \frac{1}{f} = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{2}{5}\) s
1.c Vitesse du mobile : \(v = r.\omega = 0,5 \times 5\pi = 2,5\pi \) m/s
Accélération centripète: \({a_n} = \frac{{{v^2}}}{r} = \frac{{{{\left( {r.\omega } \right)}^2}}}{r} = r{\omega ^2} = 12,5{\pi ^2}\) m/s2
2. Vitesse angulaire de l’aiguille des minutes d’une montre. Sa période est T=60s, soit: \(T = \frac{{2\pi }}{\omega } \Rightarrow \omega = \frac{{2\pi }}{T} = \frac{{2\pi }}{{60}} = \frac{\pi }{{30}}\) rad/s
3. Calcule de la distance D
Calcule de la vitesse de la boule juste après qu’elle ait été cédée : \[\omega = \sqrt {\frac{g}{{l\cos \left( \alpha \right)}}} \]
La vitesse linéaire sera dont : \[{v_0} = r\omega = l\sin \left( \alpha \right)\sqrt {\frac{g}{{l\cos \left( \alpha \right)}}} \] \({v_0} = 2,74\) m/s
Des équations suivantes, obtenues en appliquant le TCI à la boule dans le référentiel (xO’y) supposé galiléen: \[\left\{ \begin{array}{l}x(t) = {v_0}\cos (\theta ).t\\y(t) = - \frac{1}{2}g{t^2} + {v_0}\sin (\theta ).t\end{array} \right.\]
Nous avons, pour \(\theta = 0\), \(y(t) = - h\) et \(x = D\) \(\left\{ \begin{array}{l}D = {v_0}.t\\ - h = - \frac{1}{2}g{t^2}\end{array} \right. \Rightarrow D = {v_0}\sqrt {\frac{{2h}}{g}} = 1,23\) m
4.a Montrons que la composante tangentielle du vecteur accélération est nulle
Le référentiel géocentrique étant galiléen, nous pouvons y appliquer le TCI: \(\overrightarrow F = m{\overrightarrow a _G}\)
F étant l’intensité de la force que l’astre exerce sur le satellite: \(\overrightarrow F = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}\overrightarrow n = m\frac{{{v^2}}}{r}\overrightarrow n \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{G.M}}{r}} \) \[v = cte \Rightarrow {a_\tau } = \frac{{dv}}{{dt}} = 0\]
Expression du TCI: \[\overrightarrow F = m\overrightarrow {{a_G}} = m\frac{{{{\left( {r\omega } \right)}^2}}}{r}\overrightarrow n = mr{\omega ^2}\overrightarrow n \]
4.b) Cours
Exercice II
1. Expression du module v de la vitesse du solide en fonction de g, R et \(\alpha \). La norme de la vitesse étant constante, la somme des vecteurs forces est dirigée vers A centre du cercle horizontal. \({a_n} = \frac{{{v^2}}}{{AM}}\) avec \(AM = r\sin (\theta )\) et \(\tan (\theta ) = \frac{{{a_n}}}{g}\) On a: \[{v^2} = gr\tan (\theta )\sin (\theta )\]
2. Calcule de la vitesse \(v\) \(\cos \left( \theta \right) = \frac{{OA}}{r} = \frac{{r/2}}{r} = \frac{1}{2}\) soit \(\theta = {60^0}\) \[v = \sin (\theta )\sqrt {\frac{{g.r}}{{\cos (\theta )}}} \] \(v = 3,46\) m/s
3. Vitesse angulaire \[\omega = \frac{v}{{AM}} = \frac{{\sin \left( \theta \right)\sqrt {\frac{{g.r}}{{\cos \left( \theta \right)}}} }}{{r\sin \left( \theta \right)}}\] \[\omega = \frac{1}{r}\sqrt {\frac{{g.r}}{{\cos \left( \theta \right)}}} \] \(\omega = 5\) rad/s
Exercice III
1. Expression de la force gravitationnelle dans la base de Frenet: \[\overrightarrow F = G\frac{{Mm}}{{{r^2}}}\overrightarrow n \]
2. Expression de g(r). \(\overrightarrow F = G\frac{{Mm}}{{{r^2}}}\overrightarrow n = \overrightarrow P = mg(r)\overrightarrow n \) \[g(r) = G\frac{M}{{{r^2}}}\]
3. Expression du vecteur accélération
D'après le TCI, le satellite étant soumis à la seule action de son poids . \[\overrightarrow P = mg(r)\overrightarrow n = m\overrightarrow {{a_G}} \Rightarrow \overrightarrow {{a_G}} = G\frac{M}{{{r^2}}}\overrightarrow n \]
— Norme de la vitesse du satellite \[\overrightarrow {{a_G}} = G\frac{M}{{{r^2}}}\overrightarrow n = \frac{{{v^2}}}{r}\overrightarrow n \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{GM}}{r}} \]
4. Expression de la période \[T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi r}}{v} = 2\pi r\sqrt {\frac{r}{{GM}}} \]
5.1 Relation entre R et r \[R \approx r\]
5.2 Expression de v en fonction de g0 De la relation \(g(r) = G\frac{M}{{{r^2}}}\) Si r=R alors: \(g(R) = {g_0} = G\frac{M}{{{R^2}}}\) \[v = \sqrt {{g_0}R} \]
5.3 Expression de la période en fonction de la masse volumique de l’astre ρ. \(\rho = \frac{M}{{\rm{V}}} = \frac{M}{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}\) \( = \frac{{3M}}{{4\pi {R^3}}}\) \( \Rightarrow \frac{{{R^3}}}{M} = \frac{3}{{4\pi \rho }}\), \(T = 2\pi \sqrt {\frac{1}{G}\frac{{{R^3}}}{M}} \) \( = 2\pi \sqrt {\frac{3}{{4\pi \rho G}}} \) \[T = \sqrt {\frac{{3\pi }}{{\rho G}}} \]
5.4 Calcule de la masse volumique de la lune \[\rho = \frac{{3\pi }}{{{T^2}G}}\]\(\rho = {\rm{3,35 1}}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}\)kg/m3
6. Expression de la force gravitationnelle en fonction de la période. \(\overrightarrow F = G\frac{{Mm}}{{{r^2}}}\overrightarrow n \) avec \(GM = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{{T^2}}}\), On a: \[\overrightarrow F = \frac{{4{\pi ^2}r.m}}{{{T^2}}}\overrightarrow n \]
7. Expression de l’accélération en fonction de la période. \(\overrightarrow {{F_1}} = \frac{{4{\pi ^2}r.m}}{{T_1^2}}\overrightarrow n = m.{a_{G1}}\overrightarrow n \) \[\overrightarrow {{a_{G1}}} = \frac{{4{\pi ^2}r}}{{T_1^2}}\overrightarrow n \]
8. On veut tout simplement montrer que, si on diminue la période, il faut augmenter l’accélération pour que le satellite continu sur son orbite. En effet, \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow f = m.\overrightarrow {{a_{G1}}} \), \({\overrightarrow a _{G1}} = \frac{{4{\pi ^2}r}}{{T_1^2}}\overrightarrow n = \frac{{\sum {\overrightarrow F ext} }}{m}\) \[{\overrightarrow a _{G1}} = \underbrace {\frac{{4{\pi ^2}r}}{{T_1^2}}\overrightarrow n }_{{\rm{gravitation}}} + \underbrace {\frac{{\overrightarrow f }}{m}}_{{\rm{pouss\'e e\_du\_moteur (S)}}}\]
9. Expression de \(\overrightarrow f \) \[\overrightarrow f = m\left( {\frac{{4{\pi ^2}r}}{{T_1^2}} - \frac{{4{\pi ^2}r}}{T}} \right)\overrightarrow n \]
10. Intensité de \(\overrightarrow f \) pour \({T_1} = \frac{T}{2}\) \[f = \frac{{12{\pi ^2}rm}}{{{T^2}}}\] \(f = 4,88 \times {10^6}\) N
Exercice IV
1. Déterminons la constance de raider k
À l'équilibre : \(k(L - {L_O}) = m.g\) \[k = \frac{{m.g}}{{L - {L_O}}}\] \(k = 15\) N/m
2.1 Inventaire des forces qui agissent sur l'objet
L'objet est soumis à son poids et à la tension du ressort.
2.2 Expression du rayon du cercle décrit par l’objet. \[r = l\sin (\alpha )\]
2.3 Caractéristiques du vecteur accélération:
— L'accélération est centripète \[{a_n} = {\omega ^2}r = \omega l\sin (\alpha )\]
2.4 Evaluons l. d’après le TCI: \(T\sin (\alpha ) = m{\omega ^2}l\sin (\alpha )\) \(T = k(l - L)\) ainsi \(k(l - L) = m{\omega ^2}l\) \[l = \frac{{kL}}{{\left( {k - m{\omega ^2}} \right)}}\] \(l = 34\) cm
Calcule de T : \[T = k(l - L)\] \(T = 0,45\) N
Calcule de \(\alpha \) \(T\cos \left( \alpha \right) = mg\) \( \Rightarrow m{\omega ^2}l\cos \left( \alpha \right) = mg\)\(\cos \left( \alpha \right) = \frac{g}{{{\omega ^2}l}}\) \[\alpha = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{g}{{{\omega ^2}l}}} \right)\] \(\alpha = {34^0}\)
Exercice V
1. La norme du vecteur vitesse est donnée par: \[{v_i} = \frac{{{G_{i - 1}}{G_{i + 1}}}}{{{t_{i + 1}} - {t_{i - 1}}}}\] Soit: \({v_3} = \frac{{{G_4}{G_2}}}{{2\tau }} = \frac{{30}}{{10}} = 3\) m/s
N.B: N’oubliez pas de convertir G4G2 en mètres. \({v_6} = \frac{{{G_7}{G_5}}}{{2\tau }} = \frac{{30}}{{10}} = 3\) m/s
Construction:
2. Puisque \({G_{i + 1}}{G_{i - 1}} = 30\) m, la vitesse du mobile restera constante sur tout le trajet. \[\overrightarrow {{a_3}} = \frac{{\Delta \overrightarrow v }}{{2\tau }} = \overrightarrow 0 \]
L’accélération tangentielle est donc nulle et mouvement du mobile circulaire uniforme.
3. Construction de la composante normale du vecteur accélération.
La mesure de la longueur \(\Delta v = 1,5\) cm.
Le rayon du cercle vaut \(r = 3,8\) cm \( = 38\) m ( échelle) \[\left\{ \begin{array}{l}{\rm{1cm}} \to 0,1{\rm{m/s}}\\1,5cm \to \Delta {v_4}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta {v_4} = 0,15{\rm{m/s}}\] \[{a_n} = \frac{{{{\left( {\Delta {v_4}} \right)}^2}}}{r}\] \({a_n} = \frac{{{{\left( {0,15} \right)}^2}}}{{38}} = 6 \times {10^{ - 4}}\) m/s2.
Exercice VI
A) Traçons les vecteurs manquants:
B) 1 Pour que les ions soient accélérés, il faut que la plaque P1 soit chargée positivement et la plaque P2 chargée négativement, car les ions sont de charge positive. \[U = {{\rm{V}}_{P1}} - {{\rm{V}}_{P2}} \succ 0\]
2. Appliquons le TCI aux ions en mouvement dans les armatures du condensateur. Supposons le repère 'galiléen (xO1y) avec l’axe O1x horizontal. On a: \(\overrightarrow F = q\overrightarrow E = m\overrightarrow {{a_G}} \) \( \Leftrightarrow \overrightarrow F \left| \begin{array}{l}qE\\0\end{array} \right. = m\overrightarrow {{a_G}} \left| \begin{array}{l}{a_G}\\0\end{array} \right.\) \[{a_G} = q\frac{E}{m} = cte\]
Le mouvement des ions est rectiligne uniformément accéléré.
3. Expression de la vitesse des ions au point O2 . D’après le TEC, on a: \(\frac{1}{2}mv_{O2}^2 - \frac{1}{2}mv_{O1}^2 = \)\(W(\overrightarrow F ) = qEl\) \[{v_{O2}} = \sqrt {\frac{{2qEl}}{m}} \]
4. Expression du rapport des vitesses. \({v_1} = \sqrt {\frac{{2qEl}}{{{m_1}}}} \) et \({v_2} = \sqrt {\frac{{2qEl}}{{{m_2}}}} \) soit : \[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\sqrt {{m_2}} }}{{\sqrt {{m_1}} }}\]
5.1 Sens du champ magnétique.
5.2 Expression des rayons de courbure. Dans la chambre ( C ) \({\overrightarrow a _G} = \frac{{q{{\overrightarrow v }_0} \wedge \overrightarrow B }}{m}\)\( = \frac{{q{v_0}B}}{m}\overrightarrow n = \frac{{v_0^2}}{r}\overrightarrow n \) \[r = \frac{{m.{v_0}}}{{2eB}}\]
5.3 Le point d’impact se trouve à la distance \[x = 2r = \frac{{m{v_0}}}{{e.B}}\]
5.4 Distance séparant les deux points d’impact: \({x_1} = 2{r_1} = \frac{{{m_1}{v_1}}}{{e.B}}\) et \({x_2} = 2{r_2} = \frac{{{m_2}.{v_2}}}{{e.B}}\) \[\Delta x = {x_2} - {x_1} = \frac{1}{{eB}}\left( {{m_2}\sqrt {\frac{{4e.U}}{{{m_2}}}} - {m_1}\sqrt {\frac{{4e.U}}{{{m_1}}}} } \right)\] \(\Delta x = 6,08 \times {10^{ - 2}}\) m
