Objectif:
Déterminer, à partir des lois de Newton, les caractéristiques des mouvements circulaires uniformes d’un système de points matériels ou d’une particule dans un champ uniforme.
II Applications des lois de Newton
II.1. Mouvement d’un pendule conique
Soit un système formé d’un solide (S) de masse m suspendu à un fil de longueur l et décrivant une trajectoire circulaire. Ce système constitue un pendule conique.
On montre que le solide (S) ne s’écarte de la verticale qu’à partir d’une valeur limite \({\omega _0}\) de la vitesse angulaire.
En effet, supposons le référentiel ( xGy ) galiléen et appliquons le TCI aux deux forces extérieurs qui sont le poids du solide (S) et la tension du fil. \(\overrightarrow P \left| \begin{array}{l}0\\ - mg\end{array} \right. + \overrightarrow T \left| \begin{array}{l}T\sin (\theta )\\T\cos (\theta )\end{array} \right. = \)\(m{\overrightarrow a _G}\left| \begin{array}{l}m{a_n}\\0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}T\sin (\theta ) = m{a_n}{\rm{ }}(1)\\T\cos (\theta ) = mg{\rm{ }}(2)\end{array} \right.\)
Avec \({a_n} = r.{\omega ^2} = l\sin (\theta ).{\omega ^2}\)
On a, à partir de la relation (1) \(T = ml{\omega ^2}{\rm{ (3)}}\)
(3) dans (2) conduit à : \(ml{\omega ^2}\cos (\theta ) = mg\)\( \Rightarrow \cos (\theta ) = \frac{g}{{l.{\omega ^2}}}\) \[{\omega ^2} = \frac{g}{{l.\cos (\theta )}}\]
Puisque \(\cos (\theta ) \le 1\), la plus petite valeur de ω est celle pour laquelle \(\cos (\theta ) = 1\) \[\frac{g}{{l.{\omega ^2}}} = 1 \Rightarrow {\omega _0} = \sqrt {\frac{g}{l}} \]
Si cette condition est respectée, i.e. \(\omega \ge {\omega _0}\) \[{\rm{ }}\overrightarrow P + \overrightarrow T = \overrightarrow F = m{a_n}\overrightarrow n \Rightarrow F = ml{\omega ^2}\sin (\theta )\]
I.2 Mouvement d’un véhicule dans un virage
Soit un cycliste de masse m abordant un virage circulaire de rayon r en roue libre ( sans pédaler ).On se propose de déterminer la condition pour laquelle le cycliste effectuera le virage sans déraper. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, il est soumis à l’action de son poids et à la réaction de la piste
D’après le TCI \[{\rm{ }}\overrightarrow P + \overrightarrow R = m{\overrightarrow a _G}\]
— Pour une piste horizontale et parfaitement lisse
\({\overrightarrow a _G} = \overrightarrow 0 \) Le mouvement du cycliste étant rectiligne uniforme, il ne pourra pas effectuer le virage sans déraper.
— Pour une piste inclinée d’un angle α par rapport à l’horizontale
Le cycliste ne peut prendre le virage que si la somme des forces qui lui sont appliquées est centripète. \[\overrightarrow F = \overrightarrow R + \overrightarrow P = m\frac{{{v^2}}}{r}\overrightarrow i \]
En projetant cette relation suivant les différents axes de coordonnées, on a : \[\left\{ \begin{array}{l}r.\sin (\theta ) = m\frac{{{v^2}}}{r}\\r.\cos (\theta ) = mg\end{array} \right.\]
Le virage sans dérapage est possible si et seulement si \(\overrightarrow R \) et \(\overrightarrow P \) ne sont pas directement opposées; cette condition peut être satisfaite de deux manières:
1. Le cycliste est soumis aux forces de frottements de coefficient de frottement \(\tan (\beta )\)
2. La piste est inclinée d’un angle θ par rapport à l’horizontale tel que. \[\tan (\theta ) = \frac{{{v^2}}}{{rg}}\]
II.3 Mouvement d’un satellite dans un champ gravitationnel
On distingue deux types de satellite : le satellite naturel ( lune) et les satellites artificiels qui évoluent dans le champ gravitationnel terrestre. Sa trajectoire est circulaire et son centre confondu avec celui de la terre.
Le référentiel d’étude approprié est le référentiel géocentrique considéré comme galiléen.
Considérons un satellite ( S) de masse m évoluant sur une orbite circulaire d’altitude z au dessus de la terre, il est soumis à la seule action de son poids.
D’après le TCI: \(\overrightarrow F = m{\overrightarrow a _G}\)
F étant l’intensité de la force que l’astre exerce sur le satellite: \[\overrightarrow F = \frac{{GMm}}{{{r^2}}}\overrightarrow n = m\frac{{{v^2}}}{r}\overrightarrow n \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{G.M}}{r}} \]
La vitesse du satellite est donc indépendante de sa masse
Nous avons montré au dans forces et champs que: \({g_0} = \frac{{GM}}{{{R^2}}} \Rightarrow GM = {g_0}{R^2}\)
Ainsi:\[v = \sqrt {\frac{{{g_0}{R^2}}}{r}} = R\sqrt {\frac{{{g_0}}}{{R + h}}} \]
La période de révolution ou période notée T est la durée que le satellite met pour effectuer un tour complet sur sa trajectoire( orbite ).
On a montré précédemment que \[T = \frac{{2\pi r}}{v} = \frac{{2\pi r}}{{\sqrt {\frac{{GM}}{r}} }} = 2\pi \sqrt {\frac{{{r^3}}}{{GM}}} {\rm{ (1)}}\]
Vous pouvez aussi montrer que: \[T = \frac{{2\pi }}{{R\sqrt {{g_0}} }}{(R + h)^{\frac{3}{2}}}\]
En élevant la relation (1) au carré, on retrouve la troisième loi de Kepler \(\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{G.M}}\) Ou \[\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = \frac{{4{\pi ^2}}}{{{R^2}{g_0}}}\]
Cette loi stipule qu’on peut déterminer la masse d’un corps attracteur connaissant la période et le rayon de l’un de ses satellites
Un satellite géostationnaire est un satellite qui a une position fixe par rapport à un point de la surface de la terre et en mouvement circulaire uniforme par rapport au référentiel géocentrique.
Il est situé dans la plan de l’équateur, évolue d’Ouest en Est et de période de révolution égale à celle de la terre T=23h56min04s.
D’après la troisième loi de Kepler \(r = \sqrt[3]{{\frac{{{T^2}G.{M_T}}}{{4{\pi ^2}}}}}\) soit \[h = {\left( {\frac{{{T^2}.G.{M_T}}}{{4{\pi ^2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} - {R_T} \approx 36000{\rm{Km}}\]
Un satellite géostationnaire évolue en orbite circulaire à une altitude proche de 36000km et avec une vitesse de 3,1km.s-1
II.4 Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme
On se propose de déterminer la nature du mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme:
Dans le référentiel terrestre supposée galiléen, une particule chargée pénètre dans une région de l’espace où règne un champ magnétique uniforme. Elle est soumisse à:
- La force de Lorentz
- Son poids, négligeable devant la force de Lorentz.
D’après le TCI \[\overrightarrow F = m{\overrightarrow a _G} \Rightarrow {\overrightarrow a _G} = \frac{{q{{\overrightarrow v }_0} \wedge \overrightarrow B }}{m}\]
II.4.1 Cas où \({\overrightarrow v _0}\) et \(\overrightarrow B \) ont même direction
\(\overrightarrow F = q{\overrightarrow v _0} \wedge \overrightarrow B = \)\({v_0}.B.\sin (\widehat {{{\overrightarrow v }_0},\overrightarrow B }).\overrightarrow n = \overrightarrow 0 {\rm{ }}\) car \(\sin (\widehat {{{\overrightarrow v }_0},\overrightarrow B }) = 0\)\( \Rightarrow {\overrightarrow a _G} = \overrightarrow 0 \) Le mouvement de la particule est rectiligne uniforme dans le champ magnétique.
II.4.2 Cas où \({\overrightarrow v _0} \bot \overrightarrow B \) \[{\overrightarrow a _G} = \frac{{q{{\overrightarrow v }_0} \wedge \overrightarrow B }}{m} = \frac{{q{v_0}B}}{m}\overrightarrow n = \frac{{v_0^2}}{r}\overrightarrow n \]
Le rayon de courbure est constant, la trajectoire est donc un cercle de rayon r et de centre I. le mouvement de la particule est circulaire uniforme.
II.4.3.La déviation angulaire \[\sin (\theta ) = \frac{{HM}}{r} = \frac{l}{r} \approx \theta = \frac{{l\left| q \right|B}}{{m{v_0}}}\]
II.4.4 La déflexion magnétique
La déflexion magnétique est la déviation produite par un champ magnétique de longueur l sur un faisceau d’électrons.
Dans le triangle KNO’ \(\tan (\theta ) \approx \theta = \frac{{{D_m}}}{{\left( {L - \frac{l}{2}} \right)}}\)\( \Rightarrow {D_m} = \theta \left( {L - \frac{l}{2}} \right)\) \[{D_m} = \frac{{l\left| q \right|B}}{{m{v_0}}}\left( {L - \frac{l}{2}} \right) = kB\]
On montre que:
- La vitesse linéaire de la particule est \[v = \left| q \right|\frac{{B.r}}{m}\]
- La vitesse angulaire est reliée à la vitesse angulaire par la relation: \[\omega = \frac{v}{r} = \frac{{\left| q \right|B}}{m}\]
- La période est reliée à la vitesse angulaire par la relation: \[T = \frac{{2\pi }}{\omega } \Rightarrow T = 2\pi \frac{m}{{\left| q \right|B}}\]
- La fréquence est reliée à la vitesse angulaire par la relation: \[N = \frac{1}{T} = \frac{1}{{2\pi }}\frac{{\left| q \right|B}}{m}\]
