Correction exercice I

On pose :
• A l'évènement qu'un Camerounais aime la politique : \(P(A) = 0,4\)
• B celui qu'il aime un leader politique : \(P(B) = 0,3\)
• \(A \cap B\) celui qu'il aime la politique et un leader politique : \(P(A \cap B) = 0,1\)
Les évènements contraires sont notés comme suit :
• \(\overline A \) un Camerounais n'aime pas la politique;
• \(\overline B \) Il n'aime pas un leader politique;
• \(A \cap \overline B \): il aime la politique mais pas un leader politique ;
• \(A \cup B\) il aime la politique ou un leader politique ;
• \(\overline A \cap \overline B \), il n'aime ni la politique ni un leader politique.
Tous ces évènements étant ainsi notés, on peut calculer les probabilités demandées.
a) Le Camerounais aime la politique mais pas un leader politique, cet évènement est noté : \(A \cap \overline B \).
\(A = \left( {A \cap \overline B } \right)\) \( \cup \left( {A \cap B} \right)\)
\(P\left( A \right) = \) \(P\left( {\left( {A \cap \overline B } \right) \cup \left( {A \cap B} \right)} \right)\) \( = P\left( {A \cap \overline B } \right)\) \( + P\left( {A \cap B} \right)\) \( + 0\)
\({\left( {A \cap \overline B } \right)}\) et \({\left( {A \cap B} \right)}\) etant deux évènements incompatibles, donc :
\(P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( A \right)\) \( - P\left( {A \cap B} \right) = 0,40\) \( - 0,10 = 0,30\)
b) Le Camerounais aime la politique ou un leader politique. Cet évènement est noté \(A \cup B\) et on a :
\(P\left( {A \cup B} \right) = \) \(P\left( A \right) + P\left( B \right) - \) \(P\left( {A \cap B} \right) = 0,40 + \) \(0,30 - 0,10 = 0,60\)
c) Le Camerounais n'aime ni la politique, ni un leader politique. Cet évènement est noté : \(\overline A \cap \overline B = \overline {A \cup B} \)
\(P\left( {\overline A \cap \overline B } \right) = \) \(P\left( {\overline {A \cup B} } \right) = 1 - \) \(P\left( {A \cup B} \right) = 1 - 0,60\) \( = 0,40\)
d) Le Camerounais aime soit le la politique soit un leader politique. Cet évènement est noté . \(A\Delta B\) appelle différence symétrique. \(A\Delta B = A \cup B\) \( - A \cap B\)
\(P\left( {A\Delta B} \right) = \) \(P\left( {A \cup B} \right) - \) \(P\left( {A \cap B} \right) = 0,60 - \) \(0,1 = 0,50\)

Remarque : Cette dernière question pouvait se traiter de la manière suivante :

\(A\Delta B = \left( {A \cap \overline B } \right)\) \( \cup \left( {B \cap \overline A } \right)\)
\(P\left( {A\Delta B} \right) = \) \(P\left( {A \cap \overline B } \right) + \) \(P\left( {B \cap \overline A } \right)\)

Correction exercice II

L'univers \(\Omega \) de l'ensemble de paires de lapins a pour cardinal
\(card\left( \Omega \right) = C_{12}^2\) \( = \frac{{12!}}{{2!(12 - 2)!}} = 66\)
L'univers \(A\) de l'ensemble de paires de lapins mâles a pour cardinal :
\(card\left( A \right) = C_5^2 = \) \(\frac{{5!}}{{2!(5 - 2)!}} = 10\)
L'univers \(B\) de l'ensemble de paires de lapins femelle a pour cardinal :
\(card\left( A \right) = C_7^2 = \) \(\frac{{7!}}{{2!(7 - 2)!}} = 21\)

NB : Le tirage est simultanée, d’où les combinaisons.

a) Probabilité que les deux lapins soient 2 mâles:
\(P(A) = \frac{{card(A)}}{{card(\Omega )}}\) \( = \frac{{10}}{{66}} = 0,15\)
b) Probabilité que les deux lapins soient 2 femelles
\(P(B) = \frac{{card(B)}}{{card(\Omega )}}\) \( = \frac{{21}}{{66}} = 0,32\)
c) Probabilité que les 2 lapins soient de sexes différents : soit C l’évènement les deux lapins sont de sexes différents. Les évènements A, B et C sont des évènements incompatibles \(A \cup B \cup C = \Omega \).
\(P(\Omega ) = P(A) + \) \(P(B) + P(C) \Rightarrow \) \(P(C) = P(\Omega ) - P(A)\) \( - P(B)\)
\(P(C) = 1 - 0,15\) \( - 0,32 = 0,53\)
On peut aussi : \(card(C) = \) \(C_7^1C_5^1 = 35\)

Correction exercice III

NB : Le choix des chèvres est fait à la fois et au hasard : cas d’un tirage simultané
1) On pose A l’évènement : Les deux chèvres sont de même couleur, cela veut dire qu'elles peuvent être toutes mures ou toutes blanches. En posant N et B respectivement les évènements les 2 chèvres sont noirs et blanches, alors on a la probabilité suivante:
\(P(N) = \frac{{card(N)}}{{card(\Omega )}}\) et \(P(B) = \frac{{card(B)}}{{card(\Omega )}}\)
Le nombre total de chèvre est \(x - 1 + x + 1 = 2x\)
\({card(\Omega ) = C_{2x}^2}\)
\(P(N) = \frac{{C_{x - 1}^2}}{{C_{2x}^2}}\) et \(P(B) = \frac{{C_{x + 1}^2}}{{C_{2x}^2}}\)
\(P(A) = P(N) + \) \(P(B) = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{2{x^2} - x}}\)
2a) Déterminons la valeur de \(x\) pour laquelle A est certain c’est-à-dire \(P(A) = 1\)
\(P(A) = \) \(\frac{{{x^2} - x + 1}}{{2{x^2} - x}} = 1\), cela revient à résoudre l’équation précédente, on trouve pour \(x \succ 0\) : \(x = 1\). Il y aura que deux chèvres noirs et zéro chèvre blanche.
b) Valeur pour laquelle P(A) prendra sa plus petite valeur, cela revient à déterminer le minimum de la fonction précédente sur l’intervalle \(\left[ {1; + \infty } \right[\) ( il n’y a pas de demie chèvre et toutes les valeur de3 \(x\) sont entiere.)
\(P(A) = f(x)\) \( = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{2{x^2} - x}}\)
Calculons sa dérivée \(f'(x) = \) \(\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{{{\left( {x\left( {2x - 1} \right)} \right)}^2}}}\)
\(f'(x) = 0\) soit \(x = 2 + \sqrt 3 \) soit \(x = 3,73 \to 4\) donc \(x = 4\)
\(P(A) = \frac{{13}}{{28}}\)

Correction exercice IV

a) On pose A l’évènement les 4 poissons sont des gardons. On a \(P(A) = \frac{{C_{15}^4}}{{C_{30}^4}}\) \( = 0,05\)
b) On pose B l'évènement aucun des 4 poissons n'est un gardon. On a \(P(B) = \frac{{C_{15}^4}}{{C_{30}^4}}\) \( = 0,05\) (car 15 A autres poissons ne sont pas des gardons).
c) On pose C l'évènement il y a au moins un gardon dans le filet. Cet évènement est le contraire de B, donc \(P(C) = P(\overline B ) = 1\) \( - P(B) = 1 - 0,05\) \( = 0,95\)

Remarque:
Cette question pouvait encore se résoudre de la manière suivante: L'évènement C peut se décomposer comme suit : \(C = {C_1} + {C_2}\) \( + {C_3} + {C_4}\) avec :
• \({C_1}\) l'évènement il y a un gardon dans le filet. \(P({C_1}) = \frac{{C_{15}^1C_{15}^3}}{{C_{30}^4}}\)
• \({C_2}\) il y a 2 gardons dans le filet, \(P({C_2}) = \frac{{C_{15}^2C_{15}^2}}{{C_{30}^4}}\)
• \({C_3}\)il y a 3 gardons dans le filet. \(P({C_3}) = \frac{{C_{15}^3C_{15}^1}}{{C_{30}^4}}\)
• \({C_4}\) il y a 4 gardons dans le filet. Comme tous ces évènements sont incompatibles: \(P({C_4}) = \frac{{C_{15}^4C_{15}^0}}{{C_{30}^4}}\)
\(P(C) = P({C_1}) + \) \(P({C_2}) + P({C_3}) + \) \(P({C_4})\)
\(P(C) = 0,95\)
d) On pose D l’évènement le filet contient une carpe, une tanche et 2 gardons:
\(P(D) = \frac{{C_5^1C_{10}^1C_{15}^2}}{{C_{30}^4}}\) \( = 0,19\)
e) On pose E, L’évènement : Parmi les 4 poissons. il y a au moins 2 carpes. \(E = {E_2} + \) \({E_3} + {E_4}\)
\({E_2}\) : il y a 2 carpes dans le filet ; \(P({E_2}) = \frac{{C_5^2C_{25}^2}}{{C_{30}^4}}\)
\({E_3}\) : il y a 3 carpes dans le filet ; \(P({E_3}) = \frac{{C_5^3C_{25}^1}}{{C_{30}^4}}\)
\({E_4}\) : il y a 4 carpes dans le filet. \(P({E_4}) = \frac{{C_5^4}}{{C_{30}^4}}\)
\({E_3}\) et \({E_4}\) sont des évènements incompatibles; donc
\(P(E) = P({E_2}) + \) \(P({E_3}) + P({E_4})\) \( = 0,12\)
Remarque :
Cette question pouvait se résoudre de la manière suivante. On pose \(\overline E \) l'évènement : il y a au plus une carpe dans le filet. \(\overline E \) se décompose en évènements \({E_0}\) il y a zéro carpe dans le filet et \({E_4}\), il y a une carpe dans le filet:
\(P(E) = 1 - P(\overline E )\) \( = 1 - P({E_0}) - \) \(P({E_1}) = 1 - \) \(\frac{{C_{25}^4}}{{C_{30}^4}} - \frac{{C_5^1C_{25}^3}}{{C_{30}^4}}\) \( = 0,12\)

Correction Exercice V

1. Dénombrer les anagrammes de ANANAS
Soit \(n\) le nombre de lettre du nom ananas et \({n_i}\) le nombre de lettre identique
\(n = 6\)
\({n_A} = 3\)
\({n_N} = 2\)
\({n_S} = 1\)
Les anagrammes de ANANAS sont au nombre de :
\(\frac{{n!}}{{{n_A}!{n_N}!{n_S}!}} = \) \(\frac{{6!}}{{3!2!1!}} = \) \(\frac{{6x5x4x3!}}{{3!x2!}} = 60\) anagrammes
Dénombrer les anagrammes de ANTICONSTITUTIONNEL.
\(n = 19\), \({n_A} = 1\) , \({n_N} = 4\), \({n_T} = 4\), \({n_I} = 3\), \({n_C} = 1\), \({n_O} = 2\), \({n_S} = 1\), \({n_U} = 1\), \({n_E} = 1\), \({n_L} = 1\).
\(\frac{{n!}}{{{n_A}!...{n_L}!}} = \) \(\frac{{19!}}{{4!4!3!2!}} = \)
Car \({1! = 1}\)
2. Dans le diagramme suivant, G et F représentent respectivement les ensembles des garçons et des filles de cette classe ; de plus, An et Ar représentent les ensembles des élèves étudiant respectivement l’anglais et l’arabe
On désigne respectivement par \(x\) et \(y\) les nombres de garçons et de filles apprenant les deux langues.
On sait que dans la classe, il y a :
16 filles, donc 24 garçons ;
12 filles, donc 14 garçons apprennent l’anglais ;
6 filles, donc 11 garçons apprennent l'arabe.
On sait de plus que :
\((14 - x) + x\) \( + (11 - x) + 2 = 24\) et \(x + y = 7\)
On en déduit que : \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3\\ y = 4 \end{array} \right.\)
Ainsi, 4 filles suivent les deux cours de langue.
Il y a donc : 16 - (8 + 4 + 2), c’est-à-dire 2 qui ne suivent aucune de ces deux matières.

Correction exercice VI

1) On est dans une situation d’équiprobabilité donc :
• \(P(E) = \frac{{card(E)}}{{card(\Omega )}}\) \( = \frac{{1095}}{{1200}} = 0,91\)
• \(P(E \cap M) = \) \(\frac{{card(E \cap M)}}{{card(\Omega )}} = \) \(\frac{{1657}}{{1200}} = 0,55\)
2) On en déduit que \({P_E}(M) = \frac{{P(E \cap M)}}{{P(E)}}\) \( = \frac{{0,55}}{{0,91}} = 0,60\)
3) \({P_E}(M)\) est la probabilité de l’évènement H « la personne tirée au sort préfère avoir cours le matin sachant que c’est un élève », cette probabilité peut donc être obtenue en calculant ainsi :
\({P_E}(M) = \frac{{card(H)}}{{card({\Omega _E})}}\) \( = \frac{{657}}{{1095}} = 0,6\)

Correction exercice VII

1) Pour le premier nœud, les deux possibilités sont :
R : « le légume choisi est rouge » et son évènement contraire
\(\overline R = V\) : « le légume choisi est vert ».
Il reste ensuite à distinguer tomates et poivrons pour les « deuxièmes nœuds » :
Comme l’évènement « le légume choisi est un poivron » n’est pas nommé par une lettre, on a utilisé A pour le représenter dans l’arbre mais on aurait aussi pu introduire une nouvelle notation.
\(P(R \cap A) = \) \(P(R) \times P(A|R)\) ou \(P(R \cap A) = \) \(P(R) \times {P_R}(A)\)
2) \(P(R \cap A) = 0,75 \times \) \(0,70 = 0,52\)

Correction exercice VIII

Si les évènements sont indépendants, alors \( = P(A \cap B)\)
• \(P(A) = 1 - 0,63\) \( = 0,37\) ;
• \(P(L) = 0,71\);
• \({P_L}(A) = 0,37\);
• \(P(A) \times P(L)\) \( = 0,26\);
• \(P(A \cap L) = P(L)\) \( \times {P_L}(A) = 0,71 \times 0,37\) \( = 0,26\).
Comme \(P(A) \times P(L)\) \( = P(A \cap B)\), on en déduit que A et L sont indépendants.