Prérequis : analyse combinatoire

Le résultat d’une expérience aléatoire s’appelle évènement.La quantification des « chances » qu’un tel évènement a de se réaliser correspond à la notion intuitive de probabilité.
Pour réaliser cette quantification, il est nécessaire de décrire au préalable, très précisément, l’ensemble des résultats possibles, appelés évènements élémentaires. Cet ensemble expérimental s’appelle ensemble fondamental (ou univers) et est noté \(\Omega \).
\(\Omega \) est l’ensemble des éventualités possibles et les évènements élémentaires sont alors les singletons, c’est-à-dire les ensembles réduits à un seul élément \(\left\{ \omega \right\}\), qui sont effectivement en toute rigueur des évènements, puisque appartenant à \(P(\omega )\), ce qui n’est pas le cas du point \(\omega \).

Exemple
On tire une boule dans une urne contenant une boule noire, deux blanches et cinq rouges et l’ensemble fondamental retenu est :
\(\Omega \) = {noire, blanche, rouge}.

On appelle p-uplets de l’ensemble Ω, toute disposition ordonnée, avec répétition de \(p\) éléments d’entre les \(n\) éléments. Le nombre de p-uplets de Ω est \({n^p}\)

Un phénomène aléatoire est un phénomène qui dans les mêmes conditions, ne donne pas toujours le même résultat lorsqu’il est réalisé, on ne peut pas prévoir à l’avance son résultat, et si, répétée dans des conditions identiques, elle peut donner lieu à des résultats divergents.

Exemples: loterie, le lancé de dé

La Théorie des probabilités permet de modéliser des phénomènes aléatoires et d’y exécuter des calculs théoriques.
Lorsqu’on effectue une expérience, les valeurs obtenues s’appellent des réalisations ou des observations.

I Quelques propriétés sur les probabilités

Une probabilité est une fonction notée \(P\) qui attribue à tout évènement A une valeur \(P(A)\) désignant la probabilité que \(A\) se réalise.
La probabilité possède les propriétés suivantes :
• \(0 \le P(A) \le 1\) pour tout évènement A
• \(P(\Omega ) = 1\)
• \(P(\emptyset ) = 0\)
• \(P(\overline A ) = 1 - P(A)\)
• \(A \subset B \Rightarrow \) \(P(A) \le P(B)\)
En effet : \(P(A \cup B) = P(A)\) \( + P(B) - P(A \cup B)\)
mais si \(A\) et \(B\) sont disjoints, \(P(A \cup B) = P(A)\) \( + P(B)\)

NB : { A ou B} équivaut à : \(A \cup B\) et se lit «A union B ou réunion de A et B» et { A et B} équivaut à \(A \cap B\) et se lit «A inter B ou intersection de A et B»

II. Probabilités dans un univers fini

L’Univers (noté Ω) est l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience.
Il peut être :
• Fini;
Exemple : {x₁ , ..., x _k }
• infini dénombrable : on peut indicer, numéroter ses éléments jusqu’à l’infini;
Exemple : {x ₁ , , x ₂ , ..., x _n , ...}
• Infini non-dénombrable : ceci signifie qu’il n’est pas possible de d’écrire l’ensemble sous la forme d’une liste numérotée {x₁ , x₂ , ..., x_k , ...}.
Exemple : l’intervalle [0, 1] est un ensemble infini non-dénombrable.
Un évènement aléatoire est un phénomène dont la fréquence relative de réalisation approche une limite stable lorsque \(n \to \infty \). Avec \(n\) le nombre total de réalisation.
• Le sous-évènement: E est un sous-évènement de F si lorsque E arrive, F arrive aussi ;
• Deux évènements sont mutuellement exclusifs s’ils ne peuvent pas arriver en même ; temps ;
• Un évènement est impossible s’il ne peut pas se produire ;
• Un évènement est certain s’il arrive toujours ;
Soit Ω est un univers fini, on peut alors l’écrire sous la forme \(\Omega = \{ {\omega _1},...,{\omega _n}\} \). On note \({card(\Omega )}\) le nombre d’éléments de Ω qui représente le nombre de cas possibles à l’issue de l’expérience aléatoire.
Parfois, la probabilité associée à chaque évènement élémentaire est identique, soit :
\(P({\omega _i}) = \frac{1}{{card(\Omega )}}\) pour i = 1, . . . , n.
On dit alors qu’il y a équiprobabilité
L’hypothèse d’équiprobabilité implique que la probabilité d’un évènement \(A\) s’obtient en calculant le rapport du nombre de cas possibles correspondant à l’évènement \(A\) « noté \({card(\Omega )}\) » sur le nombre de cas possibles, soit :
\(P(A) = card(A) \times \) \(\frac{1}{{card(\Omega )}} = \) \(\frac{{card(A)}}{{card(\Omega )}}\)