Situation problème
Pendant le cours de physique, votre enseignant vous informe qu’une particule de charge q, de masse m, de vitesse \(\overrightarrow v \) est plongée dans un champ magnétique est soumisse à une force magnétique \(\overrightarrow F \) telle que : \(\overrightarrow F = q\left( {\overrightarrow v \wedge \overrightarrow B } \right)\).
Votre camarade, ne connaissant pas ce que représente la grandeur \(\overrightarrow B\) - et sachant que vous êtes expert en analyse dimensionnelle - sollicite votre aide pour retrouver la dimension de cette grandeur
Peut-on identifier une grandeur à partir de sa dimension ? si oui, quelle est la dimension de \(\overrightarrow B\)

I. Définition d'une grandeur

Une grandeur
Attribut d'un phénomène, d'un corps ou d'une substance chimique, physique ou biologique, qui est susceptible d'être distinguée qualitativement et déterminée quantitativement.

La grandeur est caractérisée par une valeur numérique et une unité, qui sont indissociables.

Exemple :
\(t = 3s\), \(t\) est la grandeur, 3 la valeur numérique et \(s\) l’unité de la grandeur \(t\)
On peut aussi avoir \(t = 3 min\), l’unité devient dont la minute (min)

Une grandeur peut avoir plusieurs unités, ainsi, attribuer une valeur numérique à une grandeur sans en préciser l'unité n'a aucun sens bien que nous ayons aussi des grandeurs sans unité (indice d’un milieu).

On peut classer les grandeurs en deux catégories:
• les grandeurs mesurables
• les grandeurs repérables

Grandeur mesurable :
Une grandeur est dite mesurable si on peut lui affecter une valeur numérique à partir d'observations.
Parmi les grandeurs mesurables, on peut citer la longueur, la température absolue, la résistance...
Grandeur repérable :
Une grandeur est dite repérable lorsque son effet modifie certaines propriétés physiques et géométriques des corps, c’est-à-dire son état.
Exemple : la température centésimale(°C) d'un corps

II. Notion de dimension

Le Système international d'unités (abrégé en SI), est le système d'unités le plus largement employé au monde. Il s’agit d’un système décimal (on passe d’une unité à ses multiples ou sous-multiples à l’aide de puissances de 10) sauf pour la mesure du temps et des angles.

NB : La suite de ce cours sera basse sur le système international d’unités

La dimension est caractéristique de la nature de la grandeur et définit les unités utilisables. La dimension d’une grandeur G se note dim(G) = [G]. 

En physique, la dimension est une caractéristique intrinsèque d'une grandeur physique, due à sa nature, ainsi, la connaissance de la dimension d’une grandeur G, renseigne sur sa nature physique. 
Une grandeur physique peut être mesurée à l'aide de différentes unités, mais sa dimension est unique.
Le Système international (SI) compte sept unités de base quantifiant des grandeurs physiques indépendantes.
Chaque unité possède en outre un symbole

De ces unités de base on déduit des unités dérivées telles que :
• l’Hertz (Hz) qui est l’inverse de la seconde (s) ;
• Le newton qui est le kilogramme mètre par seconde carrée ;
• …
La dimension d’une grandeur se note entre crochet, \(\left[ F \right]\) se lit dimension de F.
Soit le théorème du centre d’inertie suivant :
\(\overrightarrow F = m\overrightarrow {{a_G}} \) avec \(\left[ {{a_G}} \right] = \frac{{\left[ d \right]}}{{{{\left[ t \right]}^2}}} = \) \(\frac{L}{{{T^2}}} = L \times {T^{ - 2}}\)
\(\left[ F \right] = \left[ m \right] \times \left[ {{a_G}} \right]\) \( = M.L.{T^{ - 2}}\)
La dimension de la force est : \(\left[ F \right] = M.L.{T^{ - 2}}\)  
De ces sept unités, sont déduites les unités dérivées du système international telles que :
De ces sept unités, sont déduites les unités dérivées du système international telles que :

III. L’analyse dimensionnelle

Une relation (formule) exacte doit être homogène c’est-à-dire que les deux membres d’une équation reliant des grandeurs physiques doivent avoir les mêmes dimensions.

Analyser la dimension d’une relation, c’est vérifier son homogénéité.
L’équation qui exprime la dimension de G en fonction des dimensions de base s’appelle, équation aux dimensions.

Prenons l’exemple d’un élève qui veut vérifier des deux formules ci-dessous donnant la période \(T\) des oscillations libres d’une masse \(m\) fixée à une ressort à spires non jointives de raideur \(k\) est juste
\({T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{k}{m}} \)
\({T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \)
En effet, \({T_1}\) et \({T_2}\) étant homogène au temps, \(\left[ {{T_1}} \right] = T\) et \(\left[ {{T_2}} \right] = T\) de plus, la tension du ressort étant une force, est liée à sa constance de raideur par la relation :
\(F = k \times \Delta x\) \( \Rightarrow k = \frac{F}{{\Delta x}} \Rightarrow \left[ k \right]\) \( = \frac{{\left[ F \right]}}{{\left[ {\Delta x} \right]}} = \frac{{ML{T^{ - 2}}}}{L}\) \( = M.{T^{ - 2}}\)
Les deux membres d’une équation reliant des quantités physiques doivent avoir la même dimension ainsi
\({T_1} = 2\pi \sqrt {\frac{k}{m}} \) \( \Rightarrow [ {T_1}] = \) \(\left[ {2\pi } \right]{\left[ k \right]^{\frac{1}{2}}}{\left[ m \right]^{ - \frac{1}{2}}}\) \( = 1.{M^{\frac{-1}{2}}}.{T^{ - 1}}\) \(.{M^{\frac{1}{2}}} = {T^{ - 1}}\)
On a \(T = {T^{ - 1}}\) relation pas homogène, formule fausse.
\({T_2} = 2\pi \sqrt {\frac{m}{k}} \Rightarrow \) \(\left[ {{T_2}} \right] = \left[ {2\pi } \right]{\left[ m \right]^{\frac{1}{2}}}{\left[ k \right]^{ - \frac{1}{2}}}\) \( = 1.{M^{\frac{1}{2}}}.{T^1}.{M^{ - \frac{1}{2}}}\) \( = T\)
Relation homogène, formule juste.
L’analyse dimensionnelle permet de vérifier s’il n’y a pas d’erreur grossière dans une formule et sommer deux grandeurs de dimensions différentes n’a aucun sens en physique

IV. Quelques règles sur les équations aux dimensions

1) Les dimensions des grandeurs physiques s’expriment toutes comme des produits de puissances des dimensions fondamentales ;
2) Lorsque, dans l’écriture aux dimensions d’une grandeur G, on obtient [G] = 1 , la grandeur est dite de dimension 1 .
3) L’équation aux dimensions de toute grandeur G peut se mettre sous la forme généralisée suivante :
\([G] = {L^\alpha }{M^\beta }{T^\delta }\) \({I^\varepsilon }{J^\gamma }{\Theta ^\eta }{N^\nu }\)
4) La dimension du produit de deux grandeurs A et B est le produit des dimensions de chacune des grandeurs :
\([C] = [AB] = \) \([A][B]\) et \([{A^n}] = {[A]^n}\)
5) Pour les fonctions sin(A), cos(A), tan(A), exp(A) , ln(A) ou log(A), la grandeur A est sans dimension.
6) Dans 1 + A , la grandeur A doit être sans unité.
Dans AB, les grandeurs A et B doivent être de même dimension.
7) Une dimension ne s’additionne pas, en effet, si A = B + C , alors forcément [A] = [B] = [C] ,
8)  Un nombre réel x est sans dimension i.e. [x] = 1.