Correction exercice I

Déterminons al dimension de B
En effet : \([F] = [q][v][B]\) \( \Rightarrow [B] = [F]\) \({[v]^{ - 1}}{[q]^{ - 1}}\)
\([F] = ML{T^{ - 2}}\), \([v] = L{T^{ - 1}}\) et \([q] = IT\)
Ainsi \([B] = ML{T^{ - 2}}{L^{ - 1}}\) \(T{I^{ - 1}}{T^{ - 1}} = \) \(M{T^{ - 2}}{I^{ - 1}}\)

Correction exercice II

1) Retrouvons la formule de \(\omega \) connaissant sa dimension
\([\omega ] = {[B]^\alpha }{[q]^\beta }{[m]^\gamma }\) \( = {\left( {M.{I^{ - 1}}.{T^{ - 2}}} \right)^\alpha }\) \({\left( {IT} \right)^\beta }{\left( M \right)^\gamma }\)
\([\omega ] = {M^\alpha }.{I^{ - \alpha }}.{T^{ - 2\alpha }}\) \({I^\beta }{T^\beta }{M^{^\gamma }} = \) \({M^{\alpha + \gamma }}.{I^{ - \alpha + \beta }}.\) \({T^{ - 2\alpha + \beta }} = {T^{ - 1}}\).
Par identification, nous avons le système \(\left\{ \begin{array}{l} \alpha + \gamma = 0\\
- \alpha + \beta = 0\\ - 2\alpha + \beta = - 1 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \alpha = 1\\ \beta = 1\\ \gamma = - 1 \end{array} \right.\)
\([\omega ] = {[B]^1}{[q]^1}{[m]^{ - 1}}\) \( \Rightarrow \omega = \frac{{Bq}}{m}\)

2) \(A{t^3}\) et \(Bt\) doivent être homogène à la vitesse c’est-à-dire à une longueur divisée par un temps.
\([A{t^3}] = [A]{[t]^3}\) \( = [A]{T^3} = \frac{L}{T} \Rightarrow \) \([A] = L{T^2}\), la dimension de A est \([A] = L{T^2}\) et s’exprimera donc en \(m.{s^{ - 2}}\).
\([Bt] = [B][t]\) \( = [B]T = \frac{L}{T}\) \( \Rightarrow [B] = L{T^{ - 2}}\) d’où \([B] = L{T^{ - 2}}\)

Correction exercice III

Déterminons la dimension du terme de gauche dans les relations suivantes :
1. \(R = \frac{{PV}}{{nT}}\) (constante des gaz parfaits R)
\(R = \frac{{[P][V]}}{{[n][T]}} = \) \(\frac{{M{L^{ - 1}}{T^{ - 2}}{L^3}}}{{N.\Theta }} = \) \(M.{L^2}{T^{ - 2}}{N^{ - 1}}{\Theta ^{ - 1}}\)
2. \(R = \frac{U}{I}\) (la résistance électrique R)
\([R] = \frac{{[U]}}{{[I]}} = \) \(\frac{{M{L^2}{I^{ - 1}}{T^{ - 3}}}}{I} = \) \(M{L^2}{I^{ - 2}}{T^{ - 3}}\)
3. \(E = \frac{U}{d}\) (le champ électrique E)
\([E] = \frac{{[U]}}{{[d]}} = \) \(\frac{{M{L^2}{I^{ - 1}}{T^{ - 3}}}}{L} = \) \(ML{I^{ - 2}}{T^{ - 3}}\)
4. \(G = \frac{{F{d^2}}}{{m.M}}\) (la constante gravitationnelle G.)
\([G] = \frac{{[F][{d^2}]}}{{[M][m]}}\) \( = \frac{{ML{T^{ - 2}}{L^2}}}{{M.M}}\) \( = {M^{ - 1}}{L^3}{T^{ - 2}}\)