Les lentilles minces

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Exercices sur les lentilles minces

correction des exercices sur les lentilles minces

Evaluation sur les lentilles minces

Travaux pratiques sur les lentilles minces

Objectifs:
- Décrire les lentilles minces et les classifier
- utiliser les règles de construction et les formules des lentilles pour déterminer les caractéristiques d’une image

I– Définition et classification des lentilles

I– Définition et classification des lentilles
L’optique ( du grec "optikos" signifiant relatif à la vue ) est la branche de la physique qui étudie les phénomènes lumineux; i.e. des phénomènes qui sont perçus par l’œil.
L’optique géométrique s’intéresse à des phénomènes macroscopiques tels que : la propagation de la lumière , la réflexion et la réfraction de la lumière .
L’idée à la base de cette discipline est que:<< à la traverse d’une discontinuité, l’onde incidente (lumière ) subit des déviations>> la discontinuité est ici la surface de séparation de deux milieux d’indice de réfraction différent.
Une lentille est un milieu transparent et homogène; limité par deux surfaces sphériques ou par une surface sphérique et une surface plane.
I-1 Représentation d’une lentille

Lentilles à bords minces

Lentilles à bords épais

R₁ et R₂ sont appelés les rayons de courbures;
La droite (C₁C₂ ) axe principale de la lentille ou l’axe optique.
S₁S₂=e est l’épaisseur de la lentille;
e est le diamètre d’ouverture;
Le point O est le centre optique.
NB: Une lentille sphérique est dite mince lorsque son épaisseur “e” est très petit comparé aux rayons de courbure R₁et R₂.

I-2 les lentilles à bords minces

Elles peuvent se présenter sous trois formes.

Lentilles biconvexe

${R_1} \succ 0$ et ${R_2} \succ 0$

Menisque à bords minces

${R_1} \succ 0$ et ${R_2} \prec 0$

Lentilles plan convexe

${R_1} \succ 0$ et ${R_2} \to \infty$

- une face bombée est convexe et est comptée positivement.( BC+ qui veut dire “bombée convexe positive”)

- une face creuse est concave et est comptée négativement (CCa– qui veut dire “creuse concave négative”)
Conventionnellement; les lentilles à bords minces ou lentilles convergentes sont représentées la figure ci-contre.

I-3 Lentilles à bords épais

Elles peuvent se présenter sous trois formes.

Lentilles biconcave

${R_1} \prec 0$ et ${R_2} \prec 0$

menisque à bords épais

${R_1} \succ 0$ et ${R_2} \prec 0$

Lentilles plan concave

${R_1} \prec 0$ et ${R_2} \to \infty$

Les lentilles à bords épais ou lentilles divergentes sont représentées par la figure ci-contre.

II– Les lentilles convergentes

III– Les lentilles divergentes

IV Marche des rayons lumineux et formation de l’image.

IV Marche des rayons lumineux et formation de l’image.
IV-1 Qualités des images
- Conditions de Gauss

Une image donnée par une lentille sera de bonne qualité si elle est nette et non déformée.
Pour obtenir une telle image, les conditions de Gauss exigent que:
le faisceau lumineux traverse la lentille au voisinage du centre optique.
Les rayons incidents font de petits angles avec l’axe optique.
Pour réaliser ces conditions, il faut diaphragmer la lentille ou utiliser les objets de faible étendue situés au voisinage de l’axe optique

IV– 2 La marche des rayons lumineux

Trois rayons fondamentaux permettent de construire l’image d’un objet donnée par une lentille.
- Le rayon incident parallèle à l’axe principal émerge de la lentille en passant par le foyer principal image F’ (cas de lentilles convergentes ) soit en semblant provenir du foyer principal image F’ (cas des lentilles divergentes)

- Le rayon incident passant par le foyer principal objet F d’une lentille convergente ou celui se dirigeant vers le foyer principal objet de la lentille divergente émerge parallèlement à l’axe principal.

- Un rayon lumineux passant par le centre optique n’est pas dévié

Le point objet est le point d’intersection des rayons lumineux arrivant sur un système optique (lentille)
Il est dit réel lorsque les rayons lumineux passent effectivement par ce point et virtuel lorsqu’ils sont interceptés par le système optique avant leur concoure (rencontre)
Le point image est le point d’intersection des rayons lumineux sortant de la lentille.

IV-3 Formation de l’image
IV-3-1 Cas des lentilles convergentes

objet situé avant F (réel). Image: réelle et renversée

objet situee sur F (reel). Image située à l’infini

objet situé entre F et O (réel). Image: virtuelle, droite et plus grande que l’objet

objet virtuel entre O et F' . Image réelle, droite et plus petite que l’objet

IV-3-2 Cas des lentilles divergentes

objet réel. Image: virtuelle, droite et plus petite que l’objet

objet virtuel entre O et F. Image réelle, droite et plus grande que l’objet

objet virtuel et situé après F. Image virtuelle et renversée

V– Les formules des lentilles minces

V– Les formules des lentilles minces
V-1 la vergence d’une lentille

La vergence est l’inverse de la distance focale . Elle se note c et vaut: $c = \frac{1}{{\overline {OF'} }} = \frac{1}{{f'}}$
c en dioptrie (δ) et f’ en mètres (m)
si

$c \prec 0$ , on a une lentille divergente,
si

$c \succ 0$ , on a une lentille convergente.
En fonction des rayons de courbure et de l’indice de réfraction, la vergence est donnée par: $c = \frac{1}{{f'}} = (n - 1)(\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}})$

Où R₁et R₂ sont en mètres (m)
- une face bombée est convexe et comptée positivement
- une face creuse est concave et comptée négativement.

V-2 Formule de conjugaison de Descartes ou relation de position
-Convention de signe

On associe un repère orthonormé

$(o,\overrightarrow {i,} \overrightarrow j )$ à une lentille mince, l’origine O étant le centre optique, un vecteur

$\overrightarrow i$ unitaire porté par l’axe principal et orienté dans le sens de propagation de la lumière,

$\overrightarrow j$ est perpendiculaire à

$\overrightarrow i$ et contenu dans le plan de la figure.

Soit l’image donnée par la lentille convergente suivante:

La relation qui lie

$f' = \overline {OF'} ,\overline {OA} {\rm{ et }}\overline {{\rm{OA'}}}$ est appelée relation de conjugaison de Descartes ou formule de position.
- Utilisons le triangle IHB’

$\tan (\alpha ) = \frac{{\overline {OF'} }}{{ - \overline {IO} }} = \frac{{\overline {HB'} }}{{ - \overline {IH} }}$

$\Rightarrow \frac{{\overline {OF'} }}{{\overline {HB'} }} = \frac{{\overline {IO} }}{{\overline {IH} }}$ . avec

$\overline {HB'} = \overline {OA'}$ , on a la relation: $\frac{{\overline {OF'} }}{{\overline {OA'} }} = \frac{{\overline {OI} }}{{\overline {IH} }}(1)$

- Utilisons le triangle IHB

$\tan (\alpha ) = \frac{{ - \overline {OF} }}{{ - \overline {OH} }} = \frac{{ - \overline {IB} }}{{ - \overline {IH} }}{\rm{ }}$ avec

$\overline {{\rm{IB}}} = \overline {OA}$ et

$\overline {{\rm{OF}}} = - \overline {OF'}$ $\frac{{ - \overline {OF'} }}{{\overline {OA} }} = \frac{{\overline {OH} }}{{\overline {IH} }}(2)$

Égalisons membre à membre les relations (1) et (2)

$- \frac{{\overline {OF'} }}{{\overline {OA} }} + \frac{{\overline {OF'} }}{{\overline {OA'} }} = \frac{{\overline {IO} + \overline {OH} }}{{\overline {IH} }} = 1$ . On a donc : $- \frac{1}{{\overline {OA} }} + \frac{1}{{\overline {OA'} }} = \frac{1}{{\overline {OF'} }}$

Généralement, on pose

$p = \overline {OA} {\rm{ }}$ ,

$p' = \overline {OA'}$ et la relation précédente devient; $- \frac{1}{p} + \frac{1}{{p'}} = \frac{1}{{f'}}$
qui est la relation de conjugaison avec origine au centre optique.

Si nous supposons l’origine aux foyers,

$- \frac{1}{{\overline {OA} }} + \frac{1}{{\overline {OA'} }} = \frac{1}{{\overline {OF'} }}$ . En posant

$\overline {OA} = \overline {OF} + \overline {FA}$ et

$\overline {OA'} = \overline {OF'} + \overline {FA'}$ , nous avons: $\overline {FA} .\overline {F'A'} = \overline {OF} .\overline {OF'} = - f{'^2}$

V-3-Le grandissement

C’est le rapport de la mesure algébrique de la hauteur de l’image par celle de l’objet. noté δ, il vaut: $\delta = \frac{{\overline {A'B'} }}{{\overline {AB} }}$

De la figure précédente, on a:

$\tan (\beta ) = \frac{{ - \overline {A'B'} }}{{OA'}} = \frac{{\overline {OA'} }}{{ - \overline {OA} }}$

$\Rightarrow \frac{{\overline {A'B} '}}{{\overline {AB} }} = \frac{{\overline {OA'} }}{{\overline {OA} }}$ . Alors $\delta = \frac{{\overline {A'B} '}}{{\overline {AB} }} = \frac{{\overline {OA'} }}{{\overline {OA} }} = \frac{{p'}}{p}$

$\delta \succ 0$ l’image est droite (même sens que l’objet)
Si

$\delta \prec 0$ l’image est renversée (sens contraire au sens de l’objet)

VI La focométrie

VII Association de lentilles

VII Association de lentilles

On considère deux lentilles L₁ et L₂ de centres optiques O₁ et O₂, de distances focales dont les axes optiques sont confondus. Leur association réalise un système

$f{'_1} = \overline {{O_1}F{'_1}}$ et

$f{'_2} = \overline {{O_2}F{'_2}}$ appelé “doublet ”.

VII-1. Doublet accolé

Les centres optiques O₁ et O₂ des deux lentilles L₁ et L₂ sont tels que la distance O₁O₂ peut être considérée comme nulle, O₁ et O₂ sont confondus en O
La lentille L₁ donne d'un petit objet AB une image A₁B₁ dont la lentille L₂ donne l'image définitive A’B’.
Théorème des vergences “ Plusieurs lentilles accolées sont équivalentes à une lentille unique de vergence égale à la somme des vergences de chaque lentille”

${c_e} = \sum\limits_{i = 1}^n {{c_i}}$

VII-2 Doublet non accolé

$d = \overline {F{'_1}F{'_2}}$ et

$e = \overline {{O_1}{O_2}}$ ,

$\overline {F{'_1}{F_2}} =$

$\overline {F{'_1}{O_1}} + \overline {{O_1}{O_2}} + \overline {{O_2}{F_2}} + \overline {{O_2}{F_2}} =$

$- f{'_1} + e - f{'_2} = d$

Cherchons les éléments de la lentille L équivalente au doublet; de foyers F et F’ et de distance focale f’. On constate que :
Tout rayon incident qui émerge du doublet parallèlement à l’axe, passe par le foyer objet F de la lentille équivalente L. or ce rayon passe aussi par le foyer objet F₂ de la lentille L₂. le foyer F₂ est donc l’image de F donnée par la lentille L₁.
Tout rayon incident parallèle à l’axe émergera du doublet en passant par le point qui représente donc le foyer image F’ de la lentille équivalente L. Or ce rayon passe aussi par le foyer image F’₁ de L_1. F’ est donc l’image de F’₁ donnée par la lentille L₂
Tout rayon incident passant par F1 émerge du doublet en passant par F’₂. F’₂ est donc l’image de F₁ donnée par le doublet ou par la lentille équivalente.
On peut donc écrire; en utilisant la relation de conjugaison avec origine au foyer

$\overline {{F_1}F} .\overline {F{'_1}{F_2}} = - f{'_1}.f{'_1} \Rightarrow \overline {{F_1}F} = - \frac{{f{'_1}f{'_1}}}{d}(1)$

$\overline {{F_2}F{'_1}} .\overline {F{'_2}F'} = - f{'_2}.f{'_2} \Rightarrow \overline {F{'_2}F'} = - \frac{{f{'_2}f{'_2}}}{d}(2)$

$\overline {F{F_1}} .\overline {F'F{'_2}} = - f{'^2}$

$- f{'^2} = (\frac{{f_1^{'2}}}{d})(\frac{{ - f_1^{'2}}}{d}) = \frac{{f_1^{'2}f_2^{'2}}}{{{d^2}}}$

$\frac{1}{{f'}} = - \frac{d}{{f{'_1}f{'_2}}} = \frac{{f{'_2} + f{'_1} - e}}{{f{'_1}f{'_2}}}$

Le doublet est donc équivalent à une lentille unique L de distance focale f’ telle que: $\frac{1}{{f'}} = \frac{1}{{f{'_1}}} + \frac{1}{{f{'_2}}} - \frac{e}{{f{'_1}f{'_2}}}$

On retrouve la relation du doublet accolé pou e=0. $\frac{1}{{f'}} = \frac{1}{{f{'_1}}} + \frac{1}{{f{'_2}}}$

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