Première
C & E & D & TI
Physique
Correction exercice
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EXERCICE I Vos remarques sont attendues.
Exercice I
1 Lentille biconvexe symétrique implique.
NB: Face bombée comptée positivement
R1=R2=+0,4 m \[f' = \frac{R}{{2(n - 1)}}\] \(f' = 40cm\)
NB: Face bombée comptée positivement
R1=R2=+0,4 m \[f' = \frac{R}{{2(n - 1)}}\] \(f' = 40cm\)
2. De la formule précédente, pour que f’=R, Il suffit de remplacer n par 1,5.
3. Rayon de courbure de la face concave d’une lentille plan-concave
f’ = -0,2m lentille à bords épais (divergente)
f’ = -0,2m lentille à bords épais (divergente)
\({R_2} \to \infty ,{R_1} = ?\) , \({R_1} = (n - 1)f'\) soit: \({R_1} = - 10cm\)
EXERCICE II Vos remarques sont attendues
Exercice II
Les lentilles sont minces donc les sommets S1 et S2 sont supposés être confondus avec le centre optique O de la lentille.
a.) Il s’agit d’une lentille mince biconvexe. La position du foyer image F’ de la lentille est donnée par la relation suivante :
\(\frac{1}{{\overline {OF'} }} = (n - 1)(\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}})\), \({R_1} = + 50cm{\rm{ }}\) et \({R_2} = + 30cm\). \(\overline {OF'} = 0,375m\)
b.) Il s’agit d’une lentille mince biconcave. Dans ce cas,
Le foyer image est virtuel, la lentille est donc divergente. \({R_1} = - 50cm{\rm{ }}\) et \({R_2} = - 30cm\)
Le foyer image est virtuel, la lentille est donc divergente.
c.) Il s’agit d’une lentille plan convexe et on a: \({R_2} \to \infty {\rm{ }}\) et \({R_1} = 50cm\)
Le foyer image est virtuel, la lentille est donc divergente. \({R_1} = - 50cm{\rm{ }}\) et \({R_2} = - 30cm\)
Le foyer image est virtuel, la lentille est donc divergente.
c.) Il s’agit d’une lentille plan convexe et on a: \({R_2} \to \infty {\rm{ }}\) et \({R_1} = 50cm\)
\(\frac{1}{{\overline {OF'} }} = (n - 1)\frac{1}{{{R_1}}}\) soit \(\overline {OF'} = 1m\)
Le foyer image est réel, la lentille est donc convergente.
d.) Il s’agit d’un ménisque à bords épais. \({R_1} = + 50cm\) et \({R_2} = - 30cm\) \[\frac{1}{{\overline {OF'} }} = (n - 1)(\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}})\]\( \Rightarrow \) \(\overline {OF'} = - 1,5m\)
d.) Il s’agit d’un ménisque à bords épais. \({R_1} = + 50cm\) et \({R_2} = - 30cm\) \[\frac{1}{{\overline {OF'} }} = (n - 1)(\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}})\]\( \Rightarrow \) \(\overline {OF'} = - 1,5m\)
La lentille est dans ce cas divergente.
e.) Il s’agit d’un ménisque à bords minces. \({R_1} = - 50cm\) et \({R_2} = 30cm\) \[\frac{1}{{\overline {OF'} }} = (n - 1)(\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}})\] \(\overline {OF'} = 1,5m\)
e.) Il s’agit d’un ménisque à bords minces. \({R_1} = - 50cm\) et \({R_2} = 30cm\) \[\frac{1}{{\overline {OF'} }} = (n - 1)(\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}})\] \(\overline {OF'} = 1,5m\)
La lentille est dans ce cas est convergente.
EXERCICE III Vos remarques sont attendues
Exercice III
1 De la formule générale\[c = (n - 1)(\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}})\]
On a, pour une lentille plan convexe, \({R_1} \to \infty \Rightarrow \frac{1}{{{R_1}}} \to 0,{\rm{ }}{R_2} \succ 0\). \[c = (n - 1)(\frac{1}{{{R_1}}})\]
2 Calcule du rayon de courbure
\(\frac{1}{{f'}} = (n - 1)\frac{1}{{{R_1}}}\) \( \Rightarrow {R_1} = (n - 1)f'\) \( \Rightarrow \) \({R_1} = 104{\rm{ }}mm\)
Calcule de l’épaisseur e : \(sin(\beta ) = \frac{D}{{2{R_1}}}\) \( \Rightarrow \beta = {\sin ^{ - 1}}(\frac{D}{{2{R_1}}}) = 11,{09^0}\) avec \(\cos (\beta ) = \frac{{{R_1} - e}}{{{R_1}}}\) ainsi, \[e = {R_1}(1 - cos(\beta ))\] \( \Rightarrow \) \(e = 1,94{\rm{ mm}}\)
3 Calcule de la distance focale f1
L'indice relatif passe de n = 1,52/1 = 1,52 (dans l'air) à n’= 1,52/1,33 = 1,143 (dans l'eau).
La vergence de la lentille va changée lorsqu’elle sera plongée dans de l’eau.
\({R_1} = (n - 1)f'\) lorsque la lentille est dans l’air et \({R_1} = (n' - 1){f_1}\) lorsque la lentille est plongée dans de l’eau.
L'indice relatif passe de n = 1,52/1 = 1,52 (dans l'air) à n’= 1,52/1,33 = 1,143 (dans l'eau).
La vergence de la lentille va changée lorsqu’elle sera plongée dans de l’eau.
\({R_1} = (n - 1)f'\) lorsque la lentille est dans l’air et \({R_1} = (n' - 1){f_1}\) lorsque la lentille est plongée dans de l’eau.
\({R_1} = {R_1} \Rightarrow \) \((n - 1)f' = (n' - 1){f_1}\) \[{f_1} = \frac{{n - 1}}{{n' - 1}}f'\]\( \Rightarrow \) \({f_1} = + 728{\rm{ }}mm\)
EXERCICE IV Vos remarques sont attendues
Exercice IV
1.a) Par la relation de conjugaison de Descartes \( - \frac{1}{{\overline {OA} }} + \frac{1}{{\overline {OA'} }} = \frac{1}{{f'}}\)
\(\overline {OA} = - 18cm\) et \(f' = 6cm\) Soit: \(\overline {OA'} = 9cm\)
Cette grandeur est positive, l’image est donc réelle.
Le grandissement est donné par :\[\gamma = \frac{{\overline {OA'} }}{{\overline {OA} }} = \frac{9}{{ - 18}} = - \frac{1}{2}\]
Le grandissement est négatif, l’image est donc renversée, il est inférieur à 1. L’image est plus petite ( réduite ) que l’objet.
1.b) L’objet réel placé à 3 cm de la lentille.
De la relation de conjugaison de Newton. \(\overline {OA} ' = - 6cm,{\rm{ }}\)\(\overline {F'A'} = - 12cm,{\rm{ }}\gamma {\rm{ = + 2}}\)
L’image est virtuelle, droite, agrandie.
\(\overline {OA} = - 18cm\) et \(f' = 6cm\) Soit: \(\overline {OA'} = 9cm\)
Cette grandeur est positive, l’image est donc réelle.
Le grandissement est donné par :\[\gamma = \frac{{\overline {OA'} }}{{\overline {OA} }} = \frac{9}{{ - 18}} = - \frac{1}{2}\]
Le grandissement est négatif, l’image est donc renversée, il est inférieur à 1. L’image est plus petite ( réduite ) que l’objet.
1.b) L’objet réel placé à 3 cm de la lentille.
De la relation de conjugaison de Newton. \(\overline {OA} ' = - 6cm,{\rm{ }}\)\(\overline {F'A'} = - 12cm,{\rm{ }}\gamma {\rm{ = + 2}}\)
L’image est virtuelle, droite, agrandie.
1.c L’objet virtuel placé à 12 cm de la lentille. \(\overline {OA} ' = 4cm,\)\(\overline {F'A'} = - 2cm,{\rm{ }}\gamma {\rm{ = + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\)
L’image est réelle, droite, plus petite que l’objet.
2.a) L’objet réel placé à 12 cm de la lentille. \(\overline {OA} ' = - 4cm,\)\(\overline {F'A'} = 2cm,{\rm{ }}\gamma {\rm{ = + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\)
L’image est virtuelle, droite, plus petite que l’objet
2.b) L’objet réel placé à 3 cm de la lentille. \(\overline {OA} ' = 6cm,{\rm{ }}\)\(\overline {F'A'} = 12cm,{\rm{ }}\gamma {\rm{ = + 2}}\)
L’image est réelle, droite, agrandie.
2.c) L’objet virtuel placé à 18 cm de la lentille. \(\overline {OA} ' = - 9cm,\)\(\overline {F'A'} = - 3cm,{\rm{ }}\gamma = - \frac{1}{2}\)
L’image est virtuelle, renversée, plus petite que l’objet.
2.d)
L’image est réelle, droite, plus petite que l’objet.
2.a) L’objet réel placé à 12 cm de la lentille. \(\overline {OA} ' = - 4cm,\)\(\overline {F'A'} = 2cm,{\rm{ }}\gamma {\rm{ = + }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}}\)
L’image est virtuelle, droite, plus petite que l’objet
2.b) L’objet réel placé à 3 cm de la lentille. \(\overline {OA} ' = 6cm,{\rm{ }}\)\(\overline {F'A'} = 12cm,{\rm{ }}\gamma {\rm{ = + 2}}\)
L’image est réelle, droite, agrandie.
2.c) L’objet virtuel placé à 18 cm de la lentille. \(\overline {OA} ' = - 9cm,\)\(\overline {F'A'} = - 3cm,{\rm{ }}\gamma = - \frac{1}{2}\)
L’image est virtuelle, renversée, plus petite que l’objet.
2.d)
EXERCICE V Vos remarques sont attendues
Exercice V
1. L’image est droite et trois fois plus grande que l’objet donc \(\gamma = + 3\).
\(\gamma = \frac{{\overline {A'B'} }}{{\overline {AB} }} = \frac{{3.\overline {AB} }}{{\overline {AB} }} = + 3\) \(\gamma = \frac{{\overline {OA'} }}{{\overline {OA} }} = 3 \Rightarrow \overline {OA'} = 3\overline {OA} \)
\( - \frac{1}{{\overline {OA} }} + \frac{1}{{\overline {OA'} }} = \frac{1}{{f'}} \Rightarrow \) De la formule de conjugaison : \( - \frac{1}{{\overline {OA} }} + \frac{1}{{3.\overline {OA} }} = \frac{1}{{f'}}\) \(\overline {OA} = - \frac{2}{3}f' = - 6cm\) \(\overline {OA'} = 3\overline {OA} = - 18cm\)
L’objet est réel et l’image virtuelle.
En utilisant la relation de Newton, on a: \(\gamma = \frac{{\overline {FO} }}{{\overline {FA} }} = 3{\rm{ }}\) \( \Rightarrow \) \({\rm{ }}\overline {{\rm{FA}}} = \frac{9}{3} = 3cm\) \(\overline {OA} = \overline {FA} - \overline {FO} = - 6cm\) et \(\overline {F'A'} .\overline {FA} = - f{'^2}{\rm{ }}\) alors: \(\overline {OA'} = \overline {F'A'} - \overline {F'O} = - 18cm\)\( \Rightarrow \) \({\rm{ }}\overline {F'A'} = \frac{{f{'^2}}}{{FA}} = - 27cm\)
2. Mêmes méthodes: \[\overline {OA} = 6cm,{\rm{ }}\overline {OA'} = 18cm\]
L’objet est virtuel, l’image réelle.
L’objet est réel et l’image virtuelle.
En utilisant la relation de Newton, on a: \(\gamma = \frac{{\overline {FO} }}{{\overline {FA} }} = 3{\rm{ }}\) \( \Rightarrow \) \({\rm{ }}\overline {{\rm{FA}}} = \frac{9}{3} = 3cm\) \(\overline {OA} = \overline {FA} - \overline {FO} = - 6cm\) et \(\overline {F'A'} .\overline {FA} = - f{'^2}{\rm{ }}\) alors: \(\overline {OA'} = \overline {F'A'} - \overline {F'O} = - 18cm\)\( \Rightarrow \) \({\rm{ }}\overline {F'A'} = \frac{{f{'^2}}}{{FA}} = - 27cm\)
2. Mêmes méthodes: \[\overline {OA} = 6cm,{\rm{ }}\overline {OA'} = 18cm\]
L’objet est virtuel, l’image réelle.
EXERCICE VI Vos remarques sont attendues
Exercice VI
Dans la première situation, le centre optique de la lentille est en O1 et le grandissement est négatif puisqu’une lentille convergente donne, d’un objet réel, une image renversée. \(\gamma = - 3 = \frac{{\overline {{O_1}A'} }}{{\overline {{O_1}A} }}{\rm{ }}\) alors \(\overline {{{\rm{O}}_{\rm{1}}}A'} = - 3\overline {{O_1}A} \)
Dans la seconde situation, le centre optique de la lentille est en O2 et le grandissement est encore négatif pour la même raison. \(\gamma = \frac{{\overline {{O_2}A'} }}{{\overline {{O_2}A} }} = - \frac{1}{3}\) \( = \frac{{\overline {{{\rm{O}}_{\rm{2}}}{O_1}} + \overline {{O_1}A'} }}{{\overline {{O_2}{O_1}} + \overline {{O_1}A} }}\) \({\rm{ = }}\frac{{ - d - 3\overline {{O_1}A} }}{{ - d + \overline {{O_1}A} }}{\rm{ }}\) alors \(4d = - 8\overline {{O_1}A} \) soit \(\overline {{O_1}A} = - \frac{1}{2}d = - 20cm\)
Ce qui nous permet de calculer la distance focale de cette lentille: \(\frac{1}{{\overline {{O_1}A'} }} - \frac{1}{{\overline {{O_1}A} }} = \frac{1}{{f'}}\) \(\frac{1}{{3\overline {{O_1}A} }} - \frac{1}{{\overline {{O_1}A} }} = \frac{1}{{f'}}\) \( - \frac{2}{3}\frac{1}{{\overline {{O_1}A} }} = \frac{1}{{f'}}\) \( \Rightarrow \) \(f' = - \frac{3}{2}\overline {{O_1}A} = 30cm\)
Dans la seconde situation, le centre optique de la lentille est en O2 et le grandissement est encore négatif pour la même raison. \(\gamma = \frac{{\overline {{O_2}A'} }}{{\overline {{O_2}A} }} = - \frac{1}{3}\) \( = \frac{{\overline {{{\rm{O}}_{\rm{2}}}{O_1}} + \overline {{O_1}A'} }}{{\overline {{O_2}{O_1}} + \overline {{O_1}A} }}\) \({\rm{ = }}\frac{{ - d - 3\overline {{O_1}A} }}{{ - d + \overline {{O_1}A} }}{\rm{ }}\) alors \(4d = - 8\overline {{O_1}A} \) soit \(\overline {{O_1}A} = - \frac{1}{2}d = - 20cm\)
Ce qui nous permet de calculer la distance focale de cette lentille: \(\frac{1}{{\overline {{O_1}A'} }} - \frac{1}{{\overline {{O_1}A} }} = \frac{1}{{f'}}\) \(\frac{1}{{3\overline {{O_1}A} }} - \frac{1}{{\overline {{O_1}A} }} = \frac{1}{{f'}}\) \( - \frac{2}{3}\frac{1}{{\overline {{O_1}A} }} = \frac{1}{{f'}}\) \( \Rightarrow \) \(f' = - \frac{3}{2}\overline {{O_1}A} = 30cm\)
EXERCICE VII Vos remarques sont attendues.
Exercice VII
1. Construction de l’image
2 Retrouvons les caractéristiques de l’image par la formule de conjugaison.
Première lentille (objet AB → image A’B’)
Première lentille (objet AB → image A’B’)
\( - \frac{1}{{\overline {{O_1}A} }} + \frac{1}{{\overline {{O_1}A'} }} = \frac{1}{{f{'_1}}} \Rightarrow \)\(\overline {{O_1}A'} = \frac{{\overline {{O_1}A} .f{'_1}}}{{\overline {{O_1}A} + f{'_1}}} = + 200mm\)
Calcule du grandissement: \(\gamma = \frac{{\overline {{O_1}A'} }}{{\overline {{O_1}A} }} = - 1\)
Deuxième lentille (objet A’B’ → image A’’B’’)
Calcule du grandissement: \(\gamma = \frac{{\overline {{O_1}A'} }}{{\overline {{O_1}A} }} = - 1\)
Deuxième lentille (objet A’B’ → image A’’B’’)
\(\overline {{O_1}{O_2}} = \overline {{O_1}A{'_1}} + \overline {A{'_1}{O_2}} \Rightarrow \) \(\overline {A'{O_2}} = \overline {{O_1}{O_2}} - \overline {{O_1}A'} = 300mm\)
\( - \frac{1}{{\overline {{O_2}A'} }} + \frac{1}{{\overline {{O_2}A''} }} = \frac{1}{{f{'_2}}}\) \( \Rightarrow \overline {{O_2}A''} = \frac{{\overline {{O_2}A'} .f{'_2}}}{{\overline {{O_2}A'} + f{'_2}}} = + 150mm\)
Calcule du grandissement: \(\gamma = \frac{{\overline {{O_2}A''} }}{{\overline {{O_2}A'} }} = - \frac{1}{2}\)
Finalement, l’image A’’B’’ est réelle, située 150 mm après la deuxième lentille, droite et de taille 50 mm.
3. Position de AB
Pour que l’image A’’B’’=AB, il faut que l’image intermédiaire se forme au milieu du segment [O1O2]. Soit : \(\overline {{O_1}A'} = - \overline {{O_2}A'} = 250mm\)
Finalement, l’image A’’B’’ est réelle, située 150 mm après la deuxième lentille, droite et de taille 50 mm.
3. Position de AB
Pour que l’image A’’B’’=AB, il faut que l’image intermédiaire se forme au milieu du segment [O1O2]. Soit : \(\overline {{O_1}A'} = - \overline {{O_2}A'} = 250mm\)
\( - \frac{1}{{\overline {{O_1}A} }} + \frac{1}{{\overline {{O_1}A'} }} = \frac{1}{{f{'_1}}} \Rightarrow \) \(\overline {{O_1}A} = \frac{{\overline {{O_1}A'} .f{'_1}}}{{f{'_1} - \overline {{O_1}A'} }} = 166,66mm\)
EXERCICE VIII Vos remarques sont attendues
Exercice VIII
1 Construction de l’image donnée par la lentille L. cas No 1. \(\overline {AA'} = \overline {AO} + \overline {OA'} = - \overline {OA} + \overline {OA'} \) soit: \(\overline {OA} = - 13,3cm{\rm{ }}\) et \(\overline {OA'} = 40cm\)Le rayon lumineux qui entre parallèlement à l’axe optique en émerge en passant par le foyer principal image F’ nous pouvons donc lire la mesure algébrique AF’. \(\overline {AF'} = \overline {AO} + \overline {OF'} = 23,3cm\) soit \(\overline {OF'} = \overline {AA'} + \overline {OA} \)\( = 23,3 - 13,3 = 10cm\) ainsi: \(\overline {OF'} = 10cm\)
2- Complétons le tableau
N0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Distance objet-lentille (cm) |
13,3 | 14,9 | 18,2 | 25,0 | 40,9 |
Distance objet- écran (cm) |
53,3 | 44,9 | 40,7 | 41,7 | 62,4 |
\(\overline {OA} \) (cm) |
-13,3 | -14,9 | -18,2 | -25,0 | -40,9 |
\(\overline {OA'} \) (cm) |
40 | 30 | 22,5 | 16,5 | 21,5 |
\(\frac{1}{{\overline {OA} }}{.10^{ - 2}}c{m^{ - 1}}\) | -7,5 | -6,7 | -5,5 | -4,0 | -2,5 |
\(\frac{1}{{\overline {OA'} }}{.10^{ - 2}}c{m^{ - 1}}\) | 2,5 | 3,3 | 4,4 | 6,0 | 4,2 |
3 Traçons la droite \(y = x\)
En effet, la droite qui passe par le maximum de points coupe l’axe des ordonnée en c (0 ,10 х10-2) donc l’ordonnée représente la vergence de la lentille, d’après la relation de conjugaison de Descartes: \(\frac{1}{{\overline {OA'} }} = \frac{1}{{\overline {OA} }} + \frac{1}{{\overline {OF'} }}\) on a : \(C = 10 \times {10^{ - 2}}c{m^{ - 1}} \Rightarrow \)\(OF' = \frac{1}{{10 \times {{10}^{ - 2}}}} = 10cm\)
4 En accolant les deux lentilles, on a: \(\overline {OA'} = \overline {AA'} + \overline {OA} = 70,4 - 53,3 = 17,1cm\) ainsi: \( - \frac{1}{{OA}} + \frac{1}{{OA'}} = Ceq = 7,7 \times {10^{ - 2}}c{m^{ - 1}}\)
donc: \({c_1} = \frac{1}{{f{'_1}}} = - 0,025c{m^{ - 1}}\)
D’après le théorème de vergence, \({c_{eq}} = {c_1} + c \Rightarrow \)\(c = {c_{eq}} - {c_1} = 0,077 - ( - 0,025)\)\( = 0,102c{m^{ - 1}}\)
La distance focale de la lentille L est dont: \(\overline {OF'} = \frac{1}{c} = 9,80cm\).
4 En accolant les deux lentilles, on a: \(\overline {OA'} = \overline {AA'} + \overline {OA} = 70,4 - 53,3 = 17,1cm\) ainsi: \( - \frac{1}{{OA}} + \frac{1}{{OA'}} = Ceq = 7,7 \times {10^{ - 2}}c{m^{ - 1}}\)
donc: \({c_1} = \frac{1}{{f{'_1}}} = - 0,025c{m^{ - 1}}\)
D’après le théorème de vergence, \({c_{eq}} = {c_1} + c \Rightarrow \)\(c = {c_{eq}} - {c_1} = 0,077 - ( - 0,025)\)\( = 0,102c{m^{ - 1}}\)
La distance focale de la lentille L est dont: \(\overline {OF'} = \frac{1}{c} = 9,80cm\).
Vous venez de déterminer de trois façons différentes la distance focale de la lentille L.
EXERCICE IX Vos remarques sont attendues
Exercice IX
1.1 Relation de position en fonction de p, p’ et f ‘: \( - \frac{1}{p} + \frac{1}{{p'}} = \frac{1}{{f'}}\)
1.2 Relation entre p’ , p et D: \(D = p' - p\)
1.3 Montrons que :\(p{'^2} - p'D + Df' = 0\)
En effet, d’apresle systeme d'equation: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{p} + \frac{1}{{p'}} = \frac{1}{{f'}}\\D = p' - p\end{array} \right.\), Nous avons: \(p{'^2} - p'D + Df' = 0\)
1.4 Pour que cette équation ait une solution, il faut que le discriminant \(\Delta \) soit positif. \(\Delta = {D^2} - 4Df' \ge 0\)\( \Rightarrow D \ge 4f'\)
1.5 Donnons les solutions de notre équation du second degré: \(p{'_1} = \frac{{D + \sqrt {{D^2} - 4Df'} }}{2}{\rm{ }}\) et \({\rm{ }}p{'_2} = \frac{{D - \sqrt {{D^2} - 4Df'} }}{2}\)
1.6 Relation entre D, f’ et d: \(d = p{'_1} - p{'_2} = \sqrt {{D^2} - 4Df'} \) alors \(f' = \frac{{{D^2} - {d^2}}}{{4D}}\)
Alors:
2.1 d=500 mm et D=1000 mm, f’=187.5 mm et c=+5,33δ
2.2 On accole à la lentille précédente une lentille divergente de distance focale inconnue
Vergence équivalente: \({c_{eq}} = \frac{1}{{f{'_{eq}}}} = \frac{{4D}}{{{D^2} - {d^2}}} = + 4,17\delta \)
Soit le distance focale : \(f{'_{eq}} = + 240mm\)
Du théorème des vergence, \({c_{eq}} = c' + c \Rightarrow \)\(c = {c_{eq}} - c' = 4,17 - 5,33 = - 1,17\delta \)
Distance focale de la lentille divergente: - 854 mm
1.2 Relation entre p’ , p et D: \(D = p' - p\)
1.3 Montrons que :\(p{'^2} - p'D + Df' = 0\)
En effet, d’apresle systeme d'equation: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{p} + \frac{1}{{p'}} = \frac{1}{{f'}}\\D = p' - p\end{array} \right.\), Nous avons: \(p{'^2} - p'D + Df' = 0\)
1.4 Pour que cette équation ait une solution, il faut que le discriminant \(\Delta \) soit positif. \(\Delta = {D^2} - 4Df' \ge 0\)\( \Rightarrow D \ge 4f'\)
1.5 Donnons les solutions de notre équation du second degré: \(p{'_1} = \frac{{D + \sqrt {{D^2} - 4Df'} }}{2}{\rm{ }}\) et \({\rm{ }}p{'_2} = \frac{{D - \sqrt {{D^2} - 4Df'} }}{2}\)
1.6 Relation entre D, f’ et d: \(d = p{'_1} - p{'_2} = \sqrt {{D^2} - 4Df'} \) alors \(f' = \frac{{{D^2} - {d^2}}}{{4D}}\)
Alors:
2.1 d=500 mm et D=1000 mm, f’=187.5 mm et c=+5,33δ
2.2 On accole à la lentille précédente une lentille divergente de distance focale inconnue
Vergence équivalente: \({c_{eq}} = \frac{1}{{f{'_{eq}}}} = \frac{{4D}}{{{D^2} - {d^2}}} = + 4,17\delta \)
Soit le distance focale : \(f{'_{eq}} = + 240mm\)
Du théorème des vergence, \({c_{eq}} = c' + c \Rightarrow \)\(c = {c_{eq}} - c' = 4,17 - 5,33 = - 1,17\delta \)
Distance focale de la lentille divergente: - 854 mm