II Les caractéristiques du mouvement d’un système oscillant Généralités sur les systèmes oscillants

II Les caractéristiques du mouvement d’un système oscillant

On caractérise le mouvement d’un système oscillant par un de ces paramètres géométriques ou physiques ( l’abscisse curviligne, l’élongation angulaire, la tension...). La grandeur choisie \(\left( {s,\theta ,u} \right)\) est une fonction du temps et est  appelée équation horaire.
Un mouvement est dit périodique si son équation horaire vérifie la condition de périodicité suivante: \[x(t) = x(t + T)\] où T est la période des oscillations: les fonctions qui obéissent à cette condition sont des fonctions sinusoïdales généralement de la forme : \(x(t) = {x_m}\sin (\omega t + \rho )\) ou \(x(t) = {x_m}\cos (\omega t + \rho )\)
x_m est appelé amplitude ou élongation maximale, \(\omega = \frac{{2\pi }}{T}\) est appelée pulsation, \(f = N = \frac{1}{T}\) la fréquence des oscillations, \(\psi = \omega t + \rho \) est la phase et \(\rho \), la phase à l’instant initial. La représentation graphique d'une telle fonction est  la suivante:II Représentation de Fresnel
II.1 Principe de la méthode de Fresnel

La méthode de Fresnel permet d’effectuer la somme de deux ou plusieurs grandeurs sinusoïdales de même pulsation ω. Son principe est le suivant:
Considérons un vecteur \(\overrightarrow {OM} \) de module x_m qui tourne autour d’un point fixe O à la vitesse angulaire constante \(\omega \) . À l’instant t = 0, il fait un angle ρ avec l’axe Ox. À l’instant t, il fait un angle \(\left( {\omega t + \rho } \right)\) avec l’axe Ox.
La projection OI de ce vecteur sur Ox : \(x(t) = {x_m}\cos (\omega t + \rho )\)
La projection OJ de ce vecteur sur Oy : \(y(t) = {x_m}\sin (\omega t + \rho )\)
Ainsi, lorsque le vecteur \(\overrightarrow {OM} \) tourne autour de O, sa projection sur l’axe Ox effectue un mouvement oscillatoire.
Réciproquement, toute fonction sinusoïdale \(y(t) = a\sin (\omega t + \rho )\) ou \(y(t) = a\cos (\omega t + \rho )\) peut être représentée au moyen d’un vecteur \(\overrightarrow {OM} \) tournant de dans le sens trigonométrique avec une vitesse angulaire \(\omega \). Ce vecteur est appelé vecteur de Fresnel.
Sa norme OM correspond à l’amplitude maximale de la fonction sinusoïdale et l’angle balayé par ce vecteur en un instant donné appelé sa phase.
II.2 Somme de deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation
Soient deux fonctions sinusoïdales de même direction, de même période, d’amplitudes et de phases différentes. \({x_1} = a\sin (\omega t + {\rho _1})\) et \({x_2} = b\sin (\omega t + {\rho _2})\)
La résultante de ces deux fonctions est une fonction sinusoïdale.
L’amplitude \(\gamma \) et la phase \(\psi \) s’obtiennent en égalant les deux membres de l’équation précédente. \({x_r}(t) = \gamma sin(\omega t + \psi )\)\( = asin(\omega t + {\rho _1}) + \)\(bsin(\omega t + {\rho _2})\)
pour t=0 s     \(\gamma sin(\psi ) = asin({\rho _1})\)\( + bsin({\rho _2})\)       (1)
pour \(\omega t = \frac{\pi }{2}\),   \(\gamma \cos (\psi ) = a\cos ({\rho _1})\)\( + b\cos ({\rho _2})\)      (2) \[\frac{{{\rm{(1)}}}}{{{\rm{(2) }}}} \Rightarrow \tan (\psi ) = \frac{{a\sin ({\rho _1}){\rm{ + }}b\sin ({\rho _2})}}{{a\cos ({\rho _1}){\rm{ + }}b\cos ({\rho _2})}}\]  \({{\rm{(1)}}^{\rm{2}}} + {{\rm{(2)}}^{\rm{2}}} = \) \({\left( {\gamma \sin (\psi )} \right)^2} + {\left( {\gamma \cos (\psi )} \right)^2}\)    \( = {\left( {a\sin ({\rho _1}){\rm{ + }}b\sin ({\rho _2})} \right)^2}\)\( + {\left( {a\cos ({\rho _1}){\rm{ + }}b\cos ({\rho _2})} \right)^2}\) \[{\gamma ^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab\cos ({\rho _2} - {\rho _1})\]

II.3 Comparaison de deux mouvements vibratoires

On appelle déphasage angulaire entre deux fonctions x₁ et x₂ de phases respectives Ψ₁ et Ψ₂ la grandeur notée Δφ ( en rad) \[\Delta \varphi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right|\]
De cette différence, nous pouvons évaluer le décalage horaire noté \(\tau \). ( en secondes) qui est le retard de x₂ sur x₁. \[\tau = \frac{{\Delta \varphi }}{\omega } = \frac{{\Delta \varphi }}{{2\pi }}T\]
II.3.1 Quelques déphasages particuliers
Deux fonctions sinusoïdales sont en phase si et seulement si: \[\Delta \varphi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right| = 2k\pi \] avec \(k \in N\)
Exemple: soient deux fonctions sinusoïdales \({x_1}(t) = 3\sin (\pi t + \frac{\pi }{2})\) et \({x_2}(t) = 1\sin (\pi t + \frac{\pi }{2})\). De la formule, \(\tan (\psi ) = \frac{{a\sin ({\rho _1}){\rm{ + }}b\sin ({\rho _2})}}{{a\cos ({\rho _1}){\rm{ + }}b\cos ({\rho _2})}}\) on a : \(\tan (\psi ) = \frac{{3\sin (\frac{\pi }{2}){\rm{ + }}1\sin (\frac{\pi }{2})}}{{3\cos (\frac{\pi }{2}){\rm{ + }}1\cos (\frac{\pi }{2})}} = \tan (\frac{\pi }{2})\) soit : \[\psi = \frac{\pi }{2}\]
La fonction résultante devient: \({\gamma ^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab\cos ({\rho _2} - {\rho _1})\) \({\gamma ^2} = {3^2} + {1^2} + 2.3.1\cos (\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{2})\)\( = 9 + 1 + 6 = 16\) \[\gamma = 4\] \[{x_r}(t) = 4\sin (\pi t + \frac{\pi }{2})\] Grandeurs en opposition de phase
Deux fonctions sinusoïdales sont en opposition de phase si et seulement si: \[\Delta \varphi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right| = \pi + 2k\pi \]
Exemple: soient deux fonctions sinusoïdales \({x_1}(t) = 2\sin (\pi t)\) et \({x_2}(t) = 3\sin (\pi t + \pi )\) ainsi: \[\Delta \varphi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right| = \pi \] \(\tan (\psi ) = \frac{{2\sin (0){\rm{ + }}3\sin (\pi )}}{{2\cos (0){\rm{ + }}3\cos (\pi )}} = 0\) soit \[\psi = 0\] \({\gamma ^2} = {3^2} + {2^2} + 2.3.2\cos (\pi ) = 1\) \[{x_r}(t) = 1\sin (\pi t)\] Grandeurs en quadrature de phase
Deux fonctions sinusoïdales sont en quadrature de phase si et seulement si : \[\Delta \varphi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right| = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \]
Exemple: Soient deux fonctions sinusoïdales \({x_1}(t) = 2\sin (\pi t + \frac{\pi }{2})\) et \({x_2}(t) = 3\sin (\pi t + \pi )\) ainsi: \[\Delta \varphi = \left| {{\psi _2} - {\psi _1}} \right| = \frac{\pi }{2}\] \(\tan (\psi ) = \frac{{2\sin (\frac{\pi }{2}){\rm{ }} + 3\sin (\pi )}}{{2\cos (\frac{\pi }{2}){\rm{ }} + 3\cos (\pi )}} = - \frac{2}{3}\) \(\psi = {\tan ^{ - 1}}( - \frac{2}{3}) = - 0,59\)rad  \({\gamma ^2} = {3^2} + {2^2} + 2.3.2\cos (\frac{\pi }{2}) = 13\) \[\gamma = \sqrt {13} \]