Prérequis : Le condensateur
Situation problème
Le défibrillateur cardiaque est un appareil permettant d’appliquer un choc électrique sur le thorax d’un patient, dont les fibres musculaires du cœur se contractent de façon désordonnée
(fibrillation). Cet appareil produit une impulsion électrique de très haute énergie à travers la poitrine d’un patient afin de relancer les battements de son cœur.
Un tel défibrillateur connu sous le nom de circuit à choc exponentiel tronqué comprend notamment un condensateur de capacité C= 32.10-6 F, chargé sous une haute tension U égale à 5kV environ. La libération de l’énergie emmagasinée par le condensateur en une dizaine de millisecondes par deux électrodes posées sur le thorax du patient entraine un choc électrique.
La résistance électrique du thorax doit être prise en compte.
Chez l’adulte, elle est évaluée à 75 ohms en moyenne, valeur mesurée par le défibrillateur grâce à des courants de faible intensité. La connaissance de la valeur de la résistance de la cage thoracique avant le choc permet de choisir le niveau d’énergie du choc électrique adapté au patient, c’est-à-dire l’énergie nécessaire pour relancer les battements avec le moins d’effets délétères.
Montrer que le défibrillateur et le thorax peuvent être assimilés à un circuit RC et Calculer la constante de temps τ du circuit.
Lorsqu'une source de tension sinusoïdale alimente un circuit ne comportant que des dipôles passifs linéaires, toutes les tensions et intensités sont des fonctions sinusoïdales du temps
Dans le cas de régimes sinusoïdaux, on note \(Z\) le rapport de la valeur efficace de la tension aux bornes du dipôle par la valeur efficace du courant qui le traverse
\(Z = \frac{{{U_{eff}}}}{{{I_{eff}}}}\)
\(Z\) est appelée impédance du dipôle, en Ohm
I. Charge d’un condensateur
I.1 Étude expérimentale
On réalise le montage de la figure suivant avec un condensateur de capacité C, un résistor de résistance R et un générateur de tension continue montés tous en série. 
Les deux entrées Y1 et Y2 d’un oscilloscope numérique à mémoire sont branchées comme c’est indiqué sur la figure.
On met le commutateur dans la position 1, l’oscilloscope enregistre les oscillogrammes de la figure suivante traduisant les variations de la tension \(u\) délivrée par le générateur et la tension \({u_C}\) aux bornes du condensateur.
1°) Identifier la courbe obtenue sur la voie Y1 de l’oscilloscope et celle obtenue sur la voie Y2.
2°) La charge du condensateur est-elle instantanée ?
NB : Sur une voie, l’oscilloscope visualise la tension délimitée par la masse et la voie considérée, la masse est à l’origine de la flèche.
I.2 Interprétation
Avant la fermeture du circuit la tension aux bornes du condensateur est nulle. Lorsque le commutateur K est fermé dans la position 1, le générateur fournit la tension constante E au dipôle RC ; donc \({u_{DB}} = E\).
La tension \({u_{AB}}\) aux bornes du condensateur croît progressivement jusqu’à devenir égale à E. Comme \(q = C.{u_{AB}}\), la charge du condensateur évolue de manière similaire à \({u_{AB}}\)
I.3 Étude théorique
Mise en équation
Pendant que le condensateur se charge, le circuit précèdent est équivalent à celui-ci.
Appliquons la loi des mailles à ce circuit : \({u_{DA}} + {u_{AB}}\) \( - E = 0\) avec \(i = \frac{{dq}}{{dt}} = \) \(C\frac{{d{u_C}}}{{dt}}\), l’équation précédente devient :
\({u_C} + RC\frac{{d{u_C}}}{{dt}} = E\)
Qui est l’équation différentielle en \({u_C}\) avec second membre non nul.
Avec \({u_C} = \frac{q}{C}\) et \(i = \frac{{dq}}{{dt}}\), l’équation précédente devient \(\frac{{dq}}{{dt}} + \frac{1}{{RC}}q = \frac{E}{R}\) et \(i + \frac{1}{{RC}}\int {idt} = \frac{E}{R}\) respectivement.
a) Expression de \({u_C}(t)\)
La solution de l’équation différentielle est de la forme : \({u_C}(t) = A{e^{ - \alpha t}} + B\) où A, B et \(\alpha \) sont des constantes à déterminer.
A \(t = 0\), \({u_C}(0) = A + B\) \( = 0 \Rightarrow A = - B\)
\({u_C}(t) = A\left( {{e^{ - \alpha t}} - 1} \right)\)
La dérivée de \({u_C}(t)\) par rapport au temps s’écrit : \(\frac{{d{u_C}(t)}}{{dt}} = - \alpha A{e^{ - \alpha t}}\).
En remplaçant cette dérivée dans l’équation différentielle précédente, nous avons \( - A + (1 - \alpha .\tau )\) \(A{e^{ - \alpha t}} = E\)
En égalisant membre à membre cette équation qui doit être satisfaite pour toute valeur de \(t\), on obtient :
• \(A = - E\)
• \((1 - \alpha .\tau ) = 0\) \( \Rightarrow \alpha = \frac{1}{\tau } = \frac{1}{{RC}}\)
la tension aux bornes du condensateur s'écrit alors \({u_C}(t) = E\) \((1 - {e^{ - \frac{t}{\tau }}})\) et l’allure de sa courbe représentative la suivante.
b) Expression de \(q(t)\)
L’expression de la charge q du condensateur est \(q(t) = C.{u_C}(t)\) d’où : \(q(t) = {Q_o}(1 - {e^{ - \frac{t}{\tau }}})\) avec \({Q_o} = CE\)
Lorsque \(t\) tend vers l’infini \({{u_C}}\) tend vers E et \(q\) vers \({Q_o}\), le condensateur porte sa charge maximale.
c) Expression de i(t)
En dérivant \(q\) par rapport au temps, nous avons \(i(t) = \frac{{d.q(t)}}{{dt}} = \) \(\frac{{d\left( {CE(1 - {e^{ - \frac{t}{\tau }}})} \right)}}{{dt}}\) \( = \frac{{{Q_o}}}{\tau }{e^{ - \frac{t}{\tau }}}\)
Soit \(i(t) = {I_o}{e^{ - \frac{t}{\tau }}}\) avec \({I_o} = \frac{E}{R}\)
L’allure de la courbe est la suivante 
II Décharge d’un condensateur dans un résistor
II.1 Étude expérimentale
On utilise le même montage que celui de la figure précédente, Le condensateur étant préalablement chargé, on bascule le commutateur dans la position 2. Le condensateur se trouve directement fermé sur le résistor de résistance R.
Sur la voie Y2 de l’oscilloscope à mémoire, on enregistre l’oscillogramme de la figure ci-dessous traduisant \({u_C}(t)\).
Expliquer l’allure de \({u_C}(t)\).
II.2 Interprétation
La tension \({u_C}(t)\) décroît jusqu’à s’annuler. Comme \(q(t) = C.{u_C}(t)\) la charge du condensateur évolue, au cours du temps, de la même manière que \({u_C}(t)\). La charge \(q (t)\) s’annule lorsque le condensateur est complètement déchargé.
L’énergie emmagasinée par le condensateur pendant la charge, est progressivement dissipée dans le résistor.
II.3 Étude théorique
Le condensateur étant initialement chargé, à l’instant t = 0, la tension à ses bornes est égale à E.
Lançons la maille dans le circuit précèdent, nous avons \({u_C} + {u_R} = 0\), \({u_R} = Ri\) et \({u_C} = RC\frac{{d{u_C}}}{{dt}}\)
\({u_C} + RC\frac{{d{u_C}}}{{dt}} = 0\) soit \(\frac{{d{u_C}}}{{dt}} + \frac{1}{{RC}}{u_C} = 0\)
On obtient une équation différentielle en \({{u_C}}\) sans second membre. On obtiendra aussi les équations différentielles en \(q\) \(\frac{{dq}}{{dt}} + \frac{1}{{RC}}q = 0\) et en \(i\) \(i + \frac{1}{{RC}}\int {idt = 0} \).
a) Expression de \({u_C}(t)\)
La solution de l’équation différentielle précédente est de la forme : \({u_C}(t) = A{e^{ - \alpha t}}\) où les constantes A et \(\alpha \) sont déterminées par les conditions initiales :
A t = 0, \({u_C}(0) = E\), d'où \(A = E\).
En remplaçant \({u_C}\) et \(\frac{{d{u_C}}}{{dt}}\) par leurs expressions dans l’équation différentielle précédente
\( - \alpha A{e^{ - \alpha t}} + \) \(\frac{1}{\tau }A{e^{ - \alpha t}} = 0\) soit \(\alpha = \frac{1}{\tau }\)
\({u_C}(t) = E{e^{ - \frac{1}{\tau }t}}\)
b) Expression de \(q(t)\)
L’évolution de la charge q du condensateur au cours du temps est donnée par la relation \(q(t) = C{u_C}(t)\).
D’où : \(q(t) = EC{e^{ - \frac{1}{\tau }t}}\) \( = {Q_0}{e^{ - \frac{1}{\tau }t}}\)
\(i(t) = \frac{{dq(t)}}{{dt}} = \) \( - \frac{E}{R}{e^{ - \frac{1}{\tau }t}} = \) \({I_o}{e^{ - \frac{1}{\tau }t}}\).
III. Notion de constance de temps
La charge et la décharge du condensateur sont d’autant plus rapides que la constante de temps \(\tau \) est plus petite.
La constante de temps \(\tau \) est une grandeur caractéristique du dipôle RC, elle renseigne sur la rapidité avec laquelle s’établit la tension \({u_c} = E\) entre les armatures du condensateur.
Pour un circuit RC, on détermine directement la constance de temps par la formule \(\tau = RC\).
III.1 Intérêt pratique de la constance de temps
Nous avons montré précédemment que La tension \({u_C}\) aux bornes du condensateur est :
• Pendant la charge :
\({u_C}(t) = E\left( {1 - \exp ( - \frac{t}{\tau })} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {u_C}(t) = E\)
• Pendant la décharge
\({u_C}(t) = E\exp \left( { - \frac{t}{\tau }} \right)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {u_C}(t) = 0\)
On admet alors que le condensateur est complètement chargé ou déchargé quand la différence relative entre la valeur atteinte par \({u_C}(t)\) et la valeur asymptotique E (pour la charge) ou zéro (pour la décharge) ne dépasse pas 1%.
Soit \(\frac{{E - {u_C}}}{E} \le 1\% \)
\(\frac{{E - {u_C}}}{E} \le 1\% \) \( \Rightarrow {u_C} \ge 0,99E\)
Pendant la charge
\({u_C}(t) = \) \(E\left( {1 - \exp ( - \frac{t}{\tau }} \right) = \) \(0,99E \Rightarrow \exp ( - \frac{t}{\tau })\) \( = 0,01\)
\(\ln \exp ( - \frac{t}{\tau }) = \) \(\ln (0,01) \Rightarrow {t_c} = \) \(4,6\tau \approx 5\tau \)
Avec \({t_c}\) le temps de charge du condensateur.
Lorsque l’étude se veut plus précise, on exige une erreur relative ne dépassant pas ‰. Avec un calcul semblable au précédent, on aboutit à \({t_c} = 6,9\tau \approx 7\tau \) pour avoir \({u_C} = 0,999E\).
La constante de temps est homogène à un temps.
III.2 Détermination graphique de la constance de temps
a) Première méthode
Pour déterminer \(\tau \), on trace la tangente à la courbe de charge ou de décharge \({u_C}(t)\) au point d’abscisse \({t = 0}\).
Cette tangente sera : \(y(t) = \) \({\left( {\frac{{d{u_C}(t)}}{{dt}}} \right)_{t = 0}}.t - \) \({u_C}(0) = \frac{E}{\tau }t\)
Pour la charge, l’intersection de cette tangente à la courbe\({u_C}(t) \) à \({t = 0}\) avec la droite \({u_C}(t) = E\) donne \(t = \tau \)
Pour la décharge, l’intersection de la tangente à la courbe \({u_C}(t) \) à \({t = 0}\) avec l’axe des abscisses donne \(t = \tau \)
b) Deuxième méthode
On peut aussi déterminer la constance de temps du condensateur, en remplaçant \(t\) par \(\tau \) dans l’expression de \({u_C}(t)\), on obtiendra : \({u_C}(t)\)
\({u_C}(\tau ) = E(1 - {e^{ - 1}})\) \( = 0,63E\)
Donc, par lecture graphique de l’abscisse du point de la courbe \({u_C}(t)\) d’ordonnée 0,63E, on obtient la valeur de \(\tau \).
\(\tau \) correspond donc au temps nécessaire pour charger un condensateur à 63%.
Dans le cas de la décharge, en remplaçant \(t\) par \(\tau \) dans l’expression de \({u_C}(t)\), on obtient \({u_C}(\tau ) = E{e^{ - 1}}\) \( = 0,37E\).
\(\tau \) est alors l’abscisse du point de la courbe \({u_C}(t)\) d’ordonnée 0,37E.
