Correction III Application des lois de Newton aux mouvements circulaires uniformes

Exercice III

1. Expression de la force gravitationnelle dans la base de Frenet: $$\overrightarrow F = G\frac{{Mm}}{{{r^2}}}\overrightarrow n$$
2. Expression de g(r). $\overrightarrow F = G\frac{{Mm}}{{{r^2}}}\overrightarrow n = \overrightarrow P = mg(r)\overrightarrow n$  $$g(r) = G\frac{M}{{{r^2}}}$$
3. Expression du vecteur accélération
D'après le TCI, le satellite étant soumis à la seule action de son poids . $$\overrightarrow P = mg(r)\overrightarrow n = m\overrightarrow {{a_G}} \Rightarrow \overrightarrow {{a_G}} = G\frac{M}{{{r^2}}}\overrightarrow n$$
— Norme de la vitesse du satellite $$\overrightarrow {{a_G}} = G\frac{M}{{{r^2}}}\overrightarrow n = \frac{{{v^2}}}{r}\overrightarrow n \Rightarrow v = \sqrt {\frac{{GM}}{r}}$$
4. Expression de la période $$T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi r}}{v} = 2\pi r\sqrt {\frac{r}{{GM}}}$$
5.1 Relation entre R et r $$R \approx r$$
5.2 Expression de v en fonction de g₀ De la relation $g(r) = G\frac{M}{{{r^2}}}$ Si r=R alors: $g(R) = {g_0} = G\frac{M}{{{R^2}}}$  $$v = \sqrt {{g_0}R}$$
5.3 Expression de la période en fonction de la masse volumique de l’astre ρ. $\rho = \frac{M}{{\rm{V}}} = \frac{M}{{\frac{4}{3}\pi {R^3}}}$ $= \frac{{3M}}{{4\pi {R^3}}}$ $\Rightarrow \frac{{{R^3}}}{M} = \frac{3}{{4\pi \rho }}$,     $T = 2\pi \sqrt {\frac{1}{G}\frac{{{R^3}}}{M}}$ $= 2\pi \sqrt {\frac{3}{{4\pi \rho G}}}$ $$T = \sqrt {\frac{{3\pi }}{{\rho G}}}$$
5.4 Calcule de la masse volumique de la lune $$\rho = \frac{{3\pi }}{{{T^2}G}}$$ $\rho = {\rm{3,35 1}}{{\rm{0}}^{\rm{3}}}$kg/m³
6. Expression de la force gravitationnelle en fonction de la période. $\overrightarrow F = G\frac{{Mm}}{{{r^2}}}\overrightarrow n$ avec $GM = \frac{{4{\pi ^2}{r^3}}}{{{T^2}}}$,  On a: $$\overrightarrow F = \frac{{4{\pi ^2}r.m}}{{{T^2}}}\overrightarrow n$$
7. Expression de l’accélération en fonction de la période. $\overrightarrow {{F_1}} = \frac{{4{\pi ^2}r.m}}{{T_1^2}}\overrightarrow n = m.{a_{G1}}\overrightarrow n$  $$\overrightarrow {{a_{G1}}} = \frac{{4{\pi ^2}r}}{{T_1^2}}\overrightarrow n$$
8. On veut tout simplement montrer que, si on diminue la période, il faut augmenter l’accélération pour que le satellite continu sur son orbite. En effet, $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow f = m.\overrightarrow {{a_{G1}}}$, ${\overrightarrow a _{G1}} = \frac{{4{\pi ^2}r}}{{T_1^2}}\overrightarrow n = \frac{{\sum {\overrightarrow F ext} }}{m}$  $${\overrightarrow a _{G1}} = \underbrace {\frac{{4{\pi ^2}r}}{{T_1^2}}\overrightarrow n }_{{\rm{gravitation}}} + \underbrace {\frac{{\overrightarrow f }}{m}}_{{\rm{pouss\'e e\_du\_moteur (S)}}}$$
9. Expression de $\overrightarrow f$ $$\overrightarrow f = m\left( {\frac{{4{\pi ^2}r}}{{T_1^2}} - \frac{{4{\pi ^2}r}}{T}} \right)\overrightarrow n$$
10. Intensité de $\overrightarrow f$ pour ${T_1} = \frac{T}{2}$  $$f = \frac{{12{\pi ^2}rm}}{{{T^2}}}$$ $f = 4,88 \times {10^6}$ N