Exercice III
Un pendule pesant simple de longueur L est constitué d'un mobile autoporteur de masse m fixé à un fil inextensible. Il se déplace sur une table inclinée d'un angle \(\alpha \) par rapport au plan horizontal. Les frottements sont négligés. On prendra l'énergie potentielle de pesanteur nulle pour la position d'équilibre du pendule (position A).
1. Décrire la trajectoire suivie par le centre d'inertie du pendule pendant son oscillation.
2. On écarte le pendule de sa position d'équilibre d'un angle \(\theta \).
Exprimer son énergie potentielle de pesanteur en B
3. On abandonne le pendule sans vitesse initiale.
Exprimer sa vitesse lors de son passage par la position d'équilibre en A.
4. Exprimer l'énergie mécanique du pendule en fonction de \(\theta \), écart angulaire à l'instant t (par rapport à OA) et sa dérivée par rapport au temps dans le cas de petites oscillations. sin(θ) voisin de θ en radian. (\(\sin (\theta ) \approx \theta \))
5. Etablir à partir de l'énergie mécanique l'équation différentielle du mouvement du centre de gravité G et en déduire l'expression de la période T.
6. Calculer \(\sin (\alpha )\) pour que cette période soit celle d'un pendule simple, de même longueur L, oscillant sur la lune dans un plan vertical. \[\frac{{{g_{Terre}}}}{{{g_{Lune}}}} = 6\]
Exercice IV
On étudie les oscillations d'un pendule. L'objectif est de chercher dans quelles conditions ce pendule peut être assimilé à un oscillateur harmonique.
Le pendule est constitué d'un corps de petites dimensions, de masse m, suspendu à un fil de longueur L. Il est écarté d'un angle \({\alpha _{\max }}\) de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale.
Étude expérimentale
Un dispositif approprié a permis d'enregistrer les courbes 1 et 2.
1. Déterminer graphiquement dans chaque cas la période et la valeur de l'angle \({\alpha _{\max }}\).
2. La modélisation de ce pendule par un oscillateur harmonique donne T=1,13 s pour la valeur de la période, quel que soit la valeur de \({\alpha _{\max }}\) (dans les limites d'un certain intervalle).
En déduire si le pendule étudié se comporte, dans chacun des cas étudié, comme un oscillateur harmonique.
Étude théorique :
1. Représenter sur un schéma les forces s'exerçant sur la petite boule fixée au fil.
2. Exprimer le travail de chaque force au cours d'un déplacement G0G en fonction de m, L, g, \(\alpha \) et \({\alpha _{\max }}\).
— En appliquant le théorème de l'énergie cinétique montrer que : \({\left( {\frac{{d\alpha }}{{dt}}} \right)^2} = 2\frac{g}{L}(\cos (\alpha )\) \( - \cos ({\alpha _{\max }}))\)
3. En dérivant l'expression obtenue à la question précédente, montrer que l'équation différentielle du pendule est : \[\frac{{{d^2}\alpha }}{{d{t^2}}} + \frac{g}{L}\sin (\alpha ) = 0\]
4. L'équation différentielle de l'oscillateur harmonique est : \[\frac{{{d^2}\alpha }}{{d{t^2}}} + \frac{g}{L}.\alpha = 0\]
- Quelle approximation doit-on faire pour assimiler le pendule expérimental à un oscillateur harmonique ?
5. Compare les valeurs de \({\alpha _{\max }}\) en radian et \(\sin ({\alpha _{\max }})\) pour les deux expériences précédentes.
6. Dans quelle expérience le pendule peut-il être assimilé, de façon satisfaisante, à un oscillateur harmonique ? Justifier.
Exercice V
On étudie l'influence d'un certain nombre de paramètres sur les oscillations d'un pendule simple. Pour cela, on utilise un système informatique qui permet d'obtenir l'évolution au cours du temps de l'écart angulaire.
Dans le plan vertical du mouvement du pendule, on définit un axe horizontal (Ox) et un axe vertical (Oz), dont l'origine O coïncide avec la position d'équilibre du centre d'inertie du pendule.
Intensité de la pesanteur terrestre : gT =9,81 m.s-2,
Intensité de la pesanteur lunaire : gL =1,6 m.s-2,
Intensité de la pesanteur martienne : gM = 3,6 m.s-2.
Influence de l'écart angulaire initial.
On écarte le pendule de sa position d'équilibre de telle sorte que le fil de longueur L fasse un angle θ0 avec la verticale, puis on le lâche sans vitesse initiale. On obtient la courbe suivante après avoir déclenché l'enregistrement au moment du lâcher.
1. Déterminer la valeur de l'écart angulaire θ0 initial en degrés.
2. Déterminer graphiquement la valeur de la période propre T0 du pendule.
3. En déduire la longueur L du fil
On relève la valeur de la période propre pour différentes valeurs de l'écart angulaire initial θ0 :
| \({\left( {{\theta _0}} \right)^0}\) | 2 | 5 | 8 | 12 | 18 | 22 |
| \({T_0}(s)\) | 1 | 1 | 1 | 1,3 | 1,5 | 1,6 |
4. Que pouvez-vous remarquer ? Quelle loi est ainsi illustrée ?
Influence de la longueur du pendule.
Pour un même écart angulaire initial, on réalise la même expérience que précédemment avec des pendules de différentes longueurs L et on détermine leurs périodes propres T0. On obtient le graphique suivant.
5. Quelle est la relation mathématique entre le carré de la période propre et la longueur du pendule L ?
6. À partir de la courbe et de la relation précédemment définie, déterminer l’intensité du champ crée au voisinage du pendule et dire sur quelle planète à lieu l’expérience.
Influence de l'intensité de la pesanteur.
7. Sur quel astre (Terre, Lune ou Mars) les oscillations seront-elles les plus lentes ? Justifier la réponse.
