III Notion de probabilités conditionnelles

III. 1 Définition

La notion de probabilité conditionnelle permet de tenir compte dans une prévision d’une information complémentaire.La probabilité conditionnelle d’un évènement \(A\), sachant qu’un autre évènement \(B\) de probabilité non nulle s’est réalisé (ou probabilité de A, sachant B) est le nombre noté \(P(A|B)\) défini par :
\(P(A|B) = \) \(\frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\)

NB : Le réel P(A|B) se lit « probabilité de A, sachant B».
Les probabilités P(A) portent le nom de probabilités à priori. Les probabilités P(A|B) portent le nom de probabilités à posteriori.

Théorème : Si \(A\) et \(B\) sont deux évènements, alors : \(P(B) \times P(A|B) = \) \(P(A) \times P(B|A)\)

En effet : \(P(A|B) = \) \(\frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\) et \(P(B|A) = \) \(\frac{{P(A \cap B)}}{{P(A)}}\) en substituant \({P(A \cap B)}\) dans l’une des expression, nous avons
\(P(B) \times P(A|B) = \) \(P(A) \times P(B|A)\)

III.2 Notion d’indépendance

Deux évènements \(A\) et \(B\) sont indépendants si la connaissance de la réalisation de \(B\) n’apporte aucune information sur la réalisation de \(A\). Soit \(P(A|B) = P(A)\)
On a : \({P(A \cap B) = }\) \({P(A)P(B)}\)

III.3 Propriétés des probabilités conditionnelles

Soit B un évènement fixe. La fonction A → P [A|B] est une vraie probabilité c'est-à-dire que les règles de calcul avec les probabilités conditionnelles sont les mêmes qu’avec les probabilités classiques.
\(0 \le P(A|B) \le 1\) pour tout évènement A
\(P(\Omega |B) = 1\)
\(P(\emptyset |B) = 0\)
\(P(\overline A |B) = 1 - \) \(P(A|B)\)
\({A_1} \subset {A_2} \Rightarrow \) \(P({A_1}|B) \le P({A_2}|B)\)
En général,
\(P({A_1} \cup {A_2}|B) = \) \(P({A_1}|B) + P({A_2}|B)\) \( - P({A_1} \cap {A_2}|B)\)
si A₁ et A₂ sont disjoints,
\(P({A_1} \cup {A_2}|B) = \) \(P({A_1}|B) + P({A_2}|B)\)

IV Les principaux théorèmes de la théorie des probabilités

IV.1 Addition des probabilités

On considère deux évènements \({A_1}\) et \({A_2}\) incompatibles. On appelle somme de ces deux évènements C correspondant à la réalisation de l’un des évènements \({A_1}\) ou \({A_2}\). On note \(C = {A_1} + {A_2}\) et la probabilité de l’évènement \(C\) est donnée par la formule
\(P(C) = P({A_1} + {A_2})\) \( = P({A_1}) + P({A_2})\)
De manière générale
\(P(C) = P(\sum\limits_i^n {{A_i}} )\) \( = \sum\limits_i^n {P({A_i})} \)

Remarque :
\(P(\overline A ) + P(A) = 1\) car \(\overline A \) et \(A\) sont des évènements incompatibles.

Si les deux évènements ne sont pas incompatibles c'est-à-dire \({A_1} \cap {A_2} \ne \emptyset \), alors \(P({A_1} + {A_2}) = P({A_1})\) \( + P({A_2}) - P({A_1}|{A_2})\)

IV.2 Produits des probabilités ou probabilité composée

On considère deux évènements \({A_1}\) et \({A_2}\) incompatibles. On appelle produit de ces deux évènements C correspondant à la réalisation de l’un des évènements \({A_1}\) et \({A_2}\). On note \(C = {A_1} \times {A_2}\) et la probabilité de l’évènement \(C\) est donnée par la formule :
\(P({A_1} \times {A_2}) = \) \(P({A_1}) \times P({A_2})\)
En règle générale, \(P(\prod\limits_i^n {{A_i}} ) = \) \(\prod\limits_i^n {P({A_i})} \)
Pour les évènements compatibles, l’une des probabilités dépend de la réalisation de l’autre
\(P({A_1} \times {A_2}) = P({A_1})\) \(P({A_1}|{A_2}) = \) \(P({A_1})\frac{{P({A_1} \cap {A_2})}}{{P({A_2})}}\).

IV.3 Formule de Bernoulli

On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre \(p\), toute expérience aléatoire \(A\) admettant deux issues exactement :
• L’une appelée succès notée \(S\) dont la probabilité de réalisation de \(A\) est \(p\).
• L’autre appelée échec notée \(E\) ou \(\overline S \) dont la probabilité de réalisation est \(1-p\).
• Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux éventualités.
• Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire qui consiste à répéter \(n\) fois, de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli.
On se proposer de déterminer la probabilité de réalisation de juste \(m\) fois l’évènement \(A\) dans \(n\) cas possible.

\(P(m) = \) \(C_n^m{p^n}{(1 - p)^{n - m}}\) Avec \(0 \le m \le n\).

Remarque : si pour \({m_0}\), on a \({P_n}({m_0}) \ge {P_n}(m)\) quel que soit \(m\) appartenant a \(0 \le m \le n\), aolrs, on dit que \({m_0}\) est le nombre le plus favorable. On peut déterminer la valeur de \({m_0}\) à partir des inéquations : \(np - q \le {m_0}\) \( \le np + p\) avec \(q = 1 - p\)
On remarque que :
• La probabilité pour que l’évènement \(A\) se réalise moins de \(m\) fois au cours de \(n\) épreuve est :
\({P_n} = {P_n}(0) + \) \({P_n}(1) + ... + \) \({P_n}(m - 1)\)
• La probabilité pour que l’évènement \(A\) se réalise plus \(m\) fois au cours de \(n\) épreuve est :
\({P_n} = {P_n}(m+1) + \) \({P_n}(m+2) + ... + \) \({P_n}(n)\)

IV.4 La probabilité de réalisation ne serait-ce qu’un évènement

On considère les évènements \({A_1}\), …, \({A_n}\) indépendants et qui sont tels que \(P({A_i}) = {p_i}\). On pose qu’à la suite la suite d'une expérience, on peut avoir :
• La réalisation de tous les évènements ;
• La réalisation d'une partie seulement ;
• Aucun évènement ne se réalise du tout.
La probabilité P(A) de réalisation ne serait-ce que; d'un évènement de l'ensemble \({A_1}\), …, \({A_n}\) d'évènements incompatibles est donnée par la formule :
\(P(A) = 1 - \) \({q_1}.{q_2}...{q_n}\)
Avec \({q_i} = 1 - P({A_i})\)
Si \({q_1} = ... = {q_n}\) alors \(P(A) = 1 - {q^n}\)

IV.5 Théorèmes des hypothèses au Formule de Bayes

il est possible de calculer la probabilité d'un évènement en tenant compte à la fois des informations déjà connues et des données provenant de nouvelles observations. La formule de Bayes peut être dérivée des axiomes de base de la théorie des probabilités, en particulier de la probabilité conditionnelle.
Le théorème de Bayes est l'un des principaux théorèmes de la théorie des probabilités, il permet de déterminer la probabilité qu'un évènement arrive à partir d'un autre évènement qui s'est réalisé, notamment quand ces deux évènements sont interdépendants.
Il stipule que, lorsque \(A\) et \(B\) sont deux évènements de probabilité non-nulle, on peut écrire : \(P(A|B) = \) \(\frac{{P(B|A)P(A)}}{{P(B)}}\)